← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.513132_656914_905854.n

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((-51597045147090571702797399556a^{2} + 257608129139950886610098120128a + 74728117604421003037508641724)\mu_3 + (187499929059638459963569316457a^{2} - 29754547467461684562486851637a - 153769751456918971107302973891))b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 1)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 3)))c + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (3a^{2} - 3)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2)))c + (a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} - 3)\mu_3 + 4a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + (3\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3)))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((-2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((4a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + (a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (-2a^{2} - a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (416757353846939601845405407816a^{2} - 183869166064060462741424556352a + 129177159993556290774479904232 )x^{47} + (-10937093093299870760528063548a^{2} - 317303127897180331253064235660a + 608731732030024127027922804320 )x^{46} + (-52803583812214367014659554480a^{2} + 520492895234662057300246088224a + 98428575163821583088432366520 )x^{45} + (221548627058970767369860300904a^{2} + 395737824142068006093058054940a - 254077821140184309915883938696 )x^{44} + (-127464953727155045582344266112a^{2} - 303488591881760369908651455632a + 254835135354539291119111463520 )x^{43} + (60229144179291849800029400344a^{2} - 321627456939647492355646736220a + 150776417783432477596331379088 )x^{42} + (-303505036064531797791192381552a^{2} - 272867525241087240612128593240a + 97935603335028951833399849128 )x^{41} + (93333088345731088973696347964a^{2} - 248351214213680280026662830220a - 385080576680386785867782216972 )x^{40} + (-601932378700220635742891907424a^{2} - 541567209112938518428251246544a - 290111553797359428987668129456 )x^{39} + (-316713513894584494550435730112a^{2} + 286178199032461359768349742512a - 97706517561001287883051296736 )x^{38} + (229208797725357898999472182592a^{2} - 238133998718848910232776062920a + 361270134420580442132201848920 )x^{37} + (373279631921291120607071735408a^{2} - 526456328073174315845252836196a + 433374808337081382890686786440 )x^{36} + (-306188346763182047764960680320a^{2} + 352616631851108511844622807984a - 64836806318587433706882469920 )x^{35} + (-187582643458086919891748151888a^{2} - 140215250496305466729313543708a - 122761119022316561729747337992 )x^{34} + (-362791910018615135635685303752a^{2} - 202475448722944750987885524304a - 239841538191035812295822711760 )x^{33} + (200269668154856523311409153940a^{2} - 327344242379545621078137476534a + 104267640361077079596419095876 )x^{32} + (-345637866607529705548199003328a^{2} + 72660694958437482417779145600a + 223627980973019737821884885456 )x^{31} + (-235403815717687633905219820224a^{2} + 320679450895698504695312613528a + 394345038186612052311179589216 )x^{30} + (310055281822957530128077172064a^{2} + 428488302112037499510975325592a - 242340877377877676032269050240 )x^{29} + (-400201075411084233143854309740a^{2} + 105329169322853360086704592076a + 159827996066975393255164282504 )x^{28} + (-280280174954695023399968184448a^{2} - 96154026283232705025897757536a + 394715464969937501534852029904 )x^{27} + (579454965681791457320828258416a^{2} - 631850230481726270511242461096a + 537885764951575997601753901304 )x^{26} + (-66227639833377141948052823104a^{2} - 299075145970870607775331831312a + 241891882446499052922759455744 )x^{25} + (273879278281502506751944829064a^{2} + 515027200273408810307284433004a + 556655338022178631482463337788 )x^{24} + (344891510713646583897973726800a^{2} - 565665815798193616222299151632a + 187976566616097239773746324896 )x^{23} + (-294595691919879827039732444168a^{2} + 465872311094816203720192692344a + 226979990991026084786568699696 )x^{22} + (-250620135744842922449172464704a^{2} - 36961470615113006366719015008a - 571854745724388590360704464416 )x^{21} + (219161564553715533276011905080a^{2} - 118741658970491703191707423800a - 544277822064251388970879633456 )x^{20} + (-338069570888183352645645589248a^{2} + 624875252203769178218832724256a + 58338352332053655911661028224 )x^{19} + (128892858445808939088159669112a^{2} + 456802513493397657845216031264a - 297977465056185360511612581608 )x^{18} + (-356615835664622242354161134704a^{2} - 461298378581507998081789768256a + 459322324999663484951475989248 )x^{17} + (-390449134286180222105636346568a^{2} - 475771127137604068181001491732a - 217012735219677177732082469248 )x^{16} + (162378913322880557860921596384a^{2} + 511239824693198791435070761248a + 630905419719432959379072444032 )x^{15} + (-459457157284707693787026788936a^{2} - 609406250115593043017913517128a - 80160774913583663906228835304 )x^{14} + (539923614152544167258337564336a^{2} + 15289298646742524347998149840a - 383258642548633130603411095008 )x^{13} + (-296876132887594381286144209488a^{2} + 556850274060277316706258994240a + 262787311170313278659358821040 )x^{12} + (-348392555763058283686222251936a^{2} + 249772292156981387396462874432a + 273460266798613446070452804544 )x^{11} + (-220202402840653056173221118032a^{2} - 379942036921416449021627823624a + 583149529278991026405603810000 )x^{10} + (184295817603984142779436137840a^{2} + 214626223139727126376288767072a - 15947884260006067408357963456 )x^{9} + (334556965656446284722965764360a^{2} - 437692222252370300982273141364a + 13045361064111822567310104896 )x^{8} + (328857989251086015890014900640a^{2} + 115511751419200571695539288128a - 225621486243786525681026123200 )x^{7} + (-81264120935463658163000128448a^{2} - 442980905907836682897984636240a + 542575607099863668365660109360 )x^{6} + (-196944772737116275851380873888a^{2} - 260581599216262201665767592464a + 444624898029794067118577100208 )x^{5} + (-207275096289298139844302381352a^{2} + 309792660776730631250236481240a - 231564570101942898286896949872 )x^{4} + (270804247495444504103028017152a^{2} - 201387465407560892254474477568a + 574555403441341144793093912672 )x^{3} + (600589378619567588796562640720a^{2} - 547084878199301596779634110688a - 19275277458952645162492322336 )x^{2} + (357470601359314607947144948640a^{2} + 486736469613356073525664119008a + 244614229108367833492350622240 )x + 289889005570613262067641930816a^{2} + 591418760484891785457359061624a - 51725243611668711077812809564 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary