← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.513132_656914_905854.m

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((-51597045147090571702797399556a^{2} + 257608129139950886610098120128a + 74728117604421003037508641724)\mu_3 + (187499929059638459963569316457a^{2} - 29754547467461684562486851637a - 153769751456918971107302973891))b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 1)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 3)))c + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (3a^{2} - 3)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2)))c + (a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} - 3)\mu_3 + 4a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + (3\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3)))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((-2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((4a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + (a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (-2a^{2} - a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (416757353846939601845405407816a^{2} - 183869166064060462741424556352a + 129177159993556290774479904232 )x^{47} + (496315125982474718115872297604a^{2} + 153509998315360775094837753108a + 434974590944271784137561196024 )x^{46} + (-596235932724009263303553024432a^{2} + 527827149438278531735228422032a + 533382897972340483607165396936 )x^{45} + (289995585536231267529107183424a^{2} - 451446650885136814243633597036a + 432152055512995879075099211432 )x^{44} + (-537532609114561442758886021200a^{2} + 523812045946900889566294918144a - 266241457614730495552479197872 )x^{43} + (68383201415107182727371735664a^{2} + 460033589003491024009557700548a - 229592467644694597545681202464 )x^{42} + (427172703871113742240002719368a^{2} + 542402131294254295280152215496a - 107890006504557979752625857656 )x^{41} + (-48843771413566231650825757284a^{2} - 292034322164997938209158696988a - 90288630498665937164435341036 )x^{40} + (-183317496261180082343368800064a^{2} - 381834706231170450663890619600a - 9860842032356369517180425616 )x^{39} + (387934820419968667360086782960a^{2} + 629243874841988528756904769808a - 5928967970175108274488834680 )x^{38} + (-121338678740317707672903094128a^{2} + 177858261538536575230272298344a - 181091625623875806259654044920 )x^{37} + (-482149787270902491875386881680a^{2} - 146954086098192072018830435180a - 442041622513401447217806131408 )x^{36} + (-220539444301977055316673110464a^{2} + 136226513054496815429858002928a - 52965140367538764525990070400 )x^{35} + (479863239977106407149435211816a^{2} + 205357667552018371603343239972a - 419384974961770267786473697704 )x^{34} + (-392076520612450004164117042344a^{2} + 43228912896192938104131003936a + 260385788910580149409643253696 )x^{33} + (-597726336293291475893302577188a^{2} + 111077349924240431744209608134a + 510333019873647765690330640648 )x^{32} + (139456449804756040605966352544a^{2} - 510138427317932512587184388096a + 449584391380321362391289707792 )x^{31} + (-73147966016920014344355537328a^{2} + 580265675454528126079788283352a - 428470927345380821116075349520 )x^{30} + (415055715822770037481612097696a^{2} - 346475928729234729740039488776a + 200108377867289331357296857920 )x^{29} + (-506586607059748592033027477060a^{2} - 180308237073398415532457809580a - 66697920771922404617606309960 )x^{28} + (-175197271507199745517736296576a^{2} + 486784680377965899039994971104a + 127308562321098981996002800240 )x^{27} + (-622782669164803795992854556952a^{2} + 197490079645411906090875387288a - 399697706000608529035124202176 )x^{26} + (571698651768301590327511762768a^{2} + 98397862868182526923084604896a - 132106089129835424733781273456 )x^{25} + (-544182216403559679513064745952a^{2} + 429485257288934718800255319364a + 405883617444377586668609646676 )x^{24} + (245259149518394557326461967760a^{2} + 203540460019342460905446008656a + 370142955741246546711963134368 )x^{23} + (-255571473329490943364798703656a^{2} + 7000495949720092802906453816a + 628075211680705089768615061712 )x^{22} + (588930127170854183946526739712a^{2} - 481515108210250648960699412096a - 272862097364444420305130761440 )x^{21} + (-464736051734761536806248627880a^{2} + 60532976727689614295044062120a - 237082710862984943664254618624 )x^{20} + (-48416378564372706100757248224a^{2} + 462898163307337870064378091680a - 106391659249244763680728493088 )x^{19} + (574490894075091898582116693512a^{2} + 79014295330387111124534619840a + 53408098081423788929241361992 )x^{18} + (294812283280648488671227957536a^{2} + 353516297746253408465413983344a - 583950740237367064044619617440 )x^{17} + (-319965566565309277706771245352a^{2} - 129579811214173418640667183172a + 209019096792063287469979928272 )x^{16} + (-487469248485660820510454579360a^{2} - 174496640248023052697651886944a + 333822657788648396919902222464 )x^{15} + (587315350768057072142897485432a^{2} + 4938195610767582768705455576a + 549820592363660038523903824024 )x^{14} + (93958420556014124798659966480a^{2} + 459088006315958504868390679440a + 509133660425629473924207357088 )x^{13} + (-479491001716560842385607900256a^{2} - 302036938237191383138418154912a + 527555991448227179545018866128 )x^{12} + (-140158764557823004027784821920a^{2} + 186497244999414945746841496128a + 211994786123303822124176394624 )x^{11} + (41330292550623810778513278560a^{2} + 482224542198287148021603539336a + 302164084736489675487762842208 )x^{10} + (-255669530004394707254205724720a^{2} - 209117302926735194635291515328a - 86874005967786293015986393696 )x^{9} + (-465394880070826691903295567176a^{2} + 110437352400558078586513446764a + 621921524859717365370996783840 )x^{8} + (-415373996831754781941073553504a^{2} - 99563173617092641160060118208a + 29775952940924574797058610752 )x^{7} + (47768122567526255042192743808a^{2} - 486366454488168335863184383760a + 218535260603599134973195815728 )x^{6} + (25681172186543113938419747552a^{2} - 246077395688154118485822257776a - 621690138359959249808924516656 )x^{5} + (-296789648226280355396489349704a^{2} - 146350897173168745058290609496a + 228674975021453138159770705664 )x^{4} + (143450769442321508683257739392a^{2} - 316604219967383620122594307392a + 565638890312947946060661908704 )x^{3} + (199761227977427261944637845104a^{2} + 485119491362176872467987867872a + 390813804966197903243267070016 )x^{2} + (631223958269337229644596822080a^{2} - 255983249324000786846658020032a + 266400464335051074334366659616 )x - 469437887856096470125728393376a^{2} - 546536507216285609107895198456a + 482481551618991116745942197476 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary