← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.513132_656914_905854.l

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((-51597045147090571702797399556a^{2} + 257608129139950886610098120128a + 74728117604421003037508641724)\mu_3 + (187499929059638459963569316457a^{2} - 29754547467461684562486851637a - 153769751456918971107302973891))b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 1)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 3)))c + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (3a^{2} - 3)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2)))c + (a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} - 3)\mu_3 + 4a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + (3\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3)))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((-2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((4a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + (a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (-2a^{2} - a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-27575889698476166928797417056a^{2} - 296509441549227150356013568408a - 107527368916103325172113146624 )x^{47} + (-596371333938628704512969413604a^{2} + 511726575684076677522715595900a + 131929465192615887033776076988 )x^{46} + (496181718731464541673581280608a^{2} - 94867253087180655845411967672a + 311405550777092397081745694248 )x^{45} + (-365143636322893660552679315280a^{2} + 179357535547437453097493754776a - 546620397243435549176188803736 )x^{44} + (-549304504430687405466826797376a^{2} + 290928573203817035921211263704a - 227125755269613983143143944104 )x^{43} + (400820470900825998059747287700a^{2} + 371874487608928051336859294420a - 593322165518096881243913214204 )x^{42} + (278863141789685897637603466808a^{2} - 450168168028405122801644786088a + 439213396159773420891761368208 )x^{41} + (221639725689391569618167441852a^{2} + 295587160179739405278579673328a - 459138124834537310360752770568 )x^{40} + (-174088985970597865766629652368a^{2} + 521624083580435477649202363760a - 267554756976794330979554899376 )x^{39} + (246264192636002302536755957812a^{2} + 449183093451329736028570339104a + 324145682084653553287334199244 )x^{38} + (-444052692408891171805431904328a^{2} + 209633333680694326643236927240a - 612026731679916116273637617144 )x^{37} + (92007230665845229998792647260a^{2} + 519874952449302618411468601180a - 348165667397254940386695661568 )x^{36} + (143725288451763414009387794896a^{2} + 483083758835884873012666088144a - 195975889689081548447936828896 )x^{35} + (-327032638969806785809591173568a^{2} - 39951408398827830051702503196a - 276771242588622742088294477224 )x^{34} + (-410367096473935041896515637232a^{2} - 164519641868443664353849999240a - 384542016187198822864250478968 )x^{33} + (253962177945181322278008515754a^{2} + 3934347663811265647563801394a + 596093672725105397768518550660 )x^{32} + (563729416868709678851775813328a^{2} + 48620466181327837479109167824a - 594249054782772818693770522112 )x^{31} + (39852465717072099892493115864a^{2} - 285554728025496624704734441920a + 289485460653065266940818943920 )x^{30} + (458902579112135460460440027048a^{2} - 280325941078425504854414898232a - 586205942453764005199551261472 )x^{29} + (589251377172882017351045988900a^{2} + 407378787033291639398072144640a - 407896467210779289937583008604 )x^{28} + (72883083091422759327619481808a^{2} + 16568611695617213223181096256a + 101044668676865486972877163472 )x^{27} + (-548598739369250976380294437392a^{2} + 307178552933079867343599409904a - 124037429752371322267959685368 )x^{26} + (539582227644133921070934993208a^{2} + 629943125140888178130710536224a + 605900208154918774598096196088 )x^{25} + (-559528396587145058390082822616a^{2} - 331211477900801526228570832452a + 144904582600576732009445090968 )x^{24} + (38013280539111639857440487264a^{2} - 238194020731936564846536711456a - 536516970753166359945355526560 )x^{23} + (-398745688334886671199684666168a^{2} + 572868409906089151493682898000a + 259120420489925814452466642248 )x^{22} + (-2069780509634588510190021712a^{2} + 315240187101251407370641809376a + 270094576538913954118122088000 )x^{21} + (-256179001710351246680363035464a^{2} + 105624155769089759855770061752a - 353969924988954806620318812168 )x^{20} + (334179921677843071106490283632a^{2} + 295534745904429152055935029168a - 465175046543347697696106503808 )x^{19} + (416008654153974594184160564056a^{2} - 138205319939346710910665395576a - 22476723737827965312204307672 )x^{18} + (75817661383965776670858206864a^{2} - 271031030650679647532420912624a + 160889486800645582848962829344 )x^{17} + (111964259436924340588315579928a^{2} + 397105823040550567853014164008a + 41317173631042981061975310308 )x^{16} + (-34351482376288427563520787584a^{2} - 104132017573466537753396222432a - 622577539418114309754135902048 )x^{15} + (-397161800793479233800357293504a^{2} - 368760703933712646486657525904a - 574468679823710231937273919856 )x^{14} + (107466337168709948764488998832a^{2} + 554001270012058516224612577056a + 247265663439344052406481009680 )x^{13} + (-296823243163962931783395442144a^{2} - 506456773194853004336425034600a - 72027297393640302631521786400 )x^{12} + (-36002729506414010998236242848a^{2} + 501796215121091271298011257312a + 24482875384188615882368325504 )x^{11} + (-616991305020228806782744725416a^{2} + 388460766915321553015297065040a - 535130107567988633168791613312 )x^{10} + (229528936480446499243942453760a^{2} + 507615062989244176471236708368a - 37411194189205061210254090000 )x^{9} + (-203854257213657808497189901548a^{2} - 72736420200527246258419700604a + 252304653056027075704390495020 )x^{8} + (198290259824763716391704660896a^{2} + 240294187019746425009869475680a - 461917682585133847985687865888 )x^{7} + (581055281510419383906663449296a^{2} + 16547970020558898133890295200a - 330535277487967996225011417728 )x^{6} + (-556315745005584491086729863904a^{2} + 431282922966486755780089110176a - 141080166909652637037022247584 )x^{5} + (462704415368013252260374666688a^{2} - 251729041118061295060408816672a + 557526499832053022815129406296 )x^{4} + (-348468455790746461285937129568a^{2} + 295775478628027225843402411488a + 168330195046655184288214013664 )x^{3} + (3022208189630100650959114848a^{2} + 12227232632200502678501817152a - 443060153673023523381838981232 )x^{2} + (378414466258863087027629184704a^{2} - 203101169394776564732160310880a + 451548716608315947952586554768 )x - 82769519178311022872953709212a^{2} + 538438695705185522754306560848a + 176381135918567167873820838912 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary