← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.513132_656914_905854.k

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((-51597045147090571702797399556a^{2} + 257608129139950886610098120128a + 74728117604421003037508641724)\mu_3 + (187499929059638459963569316457a^{2} - 29754547467461684562486851637a - 153769751456918971107302973891))b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 1)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 3)))c + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (3a^{2} - 3)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2)))c + (a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} - 3)\mu_3 + 4a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + (3\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3)))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((-2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((4a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + (a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (-2a^{2} - a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-27575889698476166928797417056a^{2} - 296509441549227150356013568408a - 107527368916103325172113146624 )x^{47} + (44726846618307004049124517100a^{2} + 48239211073623020950107069812a - 631734034621726670221094593004 )x^{46} + (-326566587986136519683176772032a^{2} + 92818809446267302023456443720a + 556150159107400930143278447544 )x^{45} + (-38780689035649593059651148744a^{2} + 448253897371422158691851309160a + 415008167789278385092949435312 )x^{44} + (392627291458007995991730913376a^{2} + 83890954147670112604968454408a - 226098777213146526522625265048 )x^{43} + (542204909531416010584513543468a^{2} - 592334291968620740966570437020a - 137703789414051899031015114852 )x^{42} + (-349860479442500577650632886360a^{2} - 135688174066463398460320522400a + 559357626965532714380743746096 )x^{41} + (327982757309874280506661891148a^{2} - 316258605982669609449926025832a + 585577350474955381597326118680 )x^{40} + (228397406330759186007019731664a^{2} - 110344991631811234641113169552a - 380577296639897363137603736656 )x^{39} + (200133441101595677054648605684a^{2} + 240925268476232156676765661184a + 383030141712285710750189390764 )x^{38} + (155743958355522679104322128808a^{2} + 120464999193224310839336760872a - 320513937450219583690866845176 )x^{37} + (-107214220163309115692720741948a^{2} + 473598288160339907200046498188a - 289711203451276280232817057624 )x^{36} + (-44369620958153683014118091248a^{2} + 151011322088680262862420640240a + 228698622186668648871540543008 )x^{35} + (-424348558363354168641747148208a^{2} + 75441396409016175112607235412a + 527144633233233451534625730056 )x^{34} + (-212111203784083669704434115968a^{2} - 548120400538371639605512683800a + 88714376434530423254200447624 )x^{33} + (527691934167248998729999385158a^{2} - 307956722899503784901507109158a + 481543149939433091474479138136 )x^{32} + (-179306065307797612064053496752a^{2} - 554005869188383501101335035440a + 459097185758229667535803903168 )x^{31} + (-394693483970905338836431611064a^{2} + 484155526654457044733778645280a - 47343961224119995364767220016 )x^{30} + (-152547576938513428793655408024a^{2} - 89319657316044851488925708184a + 194446746776500076668769177536 )x^{29} + (226645115609254581998240477100a^{2} + 474836902897807258500488942416a + 38957636723163277805910832908 )x^{28} + (-553033012096058334983157305008a^{2} - 447526134408600708406524115296a + 605390419714016901719875385872 )x^{27} + (517114002892097271531097601584a^{2} - 607339938784995679654657589280a - 114787920467251186257030812104 )x^{26} + (344255615178194523626000229960a^{2} - 19781259279543128716548412768a - 185844728791240443437858603112 )x^{25} + (-374725153918152075881185357232a^{2} - 458829653074204625308624472652a + 224892078056572014845683039568 )x^{24} + (507301390690866916872546565632a^{2} + 542355067320488577315023871936a - 62704971704967975054684785696 )x^{23} + (-62932466529991375323643142232a^{2} - 476050286382872964687404811952a - 33074897052122002622366554248 )x^{22} + (181938119118258059158400472592a^{2} + 73591254340218163114142253248a + 138855839288612531296733461024 )x^{21} + (565397933820612862186031754152a^{2} - 239292757092995776396567315432a + 135438636040617829814542113000 )x^{20} + (427515688391094893327753859440a^{2} + 342779836417284582241478354768a - 517755253719203981258679450336 )x^{19} + (-330446408978849982105638647192a^{2} + 37433570935334831812839672536a - 379745556004344080451527906088 )x^{18} + (39010248346509711801315767792a^{2} + 632608690147892033090249884464a + 562074992393557989585708538080 )x^{17} + (-425837577529632504794088805960a^{2} + 157946804628637169339317424344a - 317242062998697868574718092396 )x^{16} + (-156069267958955856928280001152a^{2} - 114620478450260358220979910624a - 458046356413315878682415338592 )x^{15} + (-494717761652208696850897459328a^{2} - 449071555860580560276837214928a + 106219182577672306572632858736 )x^{14} + (-506012313499253337518975831600a^{2} + 293559503264370762153911044544a - 299073637373407103873609892240 )x^{13} + (93921598639933423291270989344a^{2} - 396478287271619555401481776392a - 291674876200055437253638898000 )x^{12} + (279518068695370632237198774048a^{2} - 36009463818511077962298193824a - 488703217543484882801497022528 )x^{11} + (-335481585696489250353283098296a^{2} - 28678570905745896267764942816a - 202470912703586446350303253440 )x^{10} + (-201144214153885277101138336608a^{2} + 353351284148859406876823952688a - 306207966292647799280388649328 )x^{9} + (244925424816250188132452697812a^{2} - 269549090319068679653174050508a - 418106529286902170246943973652 )x^{8} + (157744539290125143039606877600a^{2} + 195628987701676840522434581280a + 342194252765749354244433513120 )x^{7} + (116219037469940274146599043408a^{2} - 401007562768573005953347805184a + 71328060418181897504809571936 )x^{6} + (451256271703287017248955280480a^{2} + 469367415660883544295919825824a + 273230547034224408006494426112 )x^{5} + (-448617844884537379068730600496a^{2} - 164234565859753916341093146144a + 61971416145703129396714281928 )x^{4} + (-179023052275483112584790984288a^{2} - 255559765109780043910110655584a - 501945133968708959484055862816 )x^{3} + (-173610410162410078674295359056a^{2} - 322236016136300606716690520368a + 403701540355651604434837436096 )x^{2} + (39589689697412962877287090080a^{2} - 82871839898499658656994473216a + 512046065999351527201389465072 )x - 336313070014034809043848523868a^{2} - 217245318239189873537501853968a + 203386992338119553191651968000 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary