← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.513132_656914_905854.j

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((-51597045147090571702797399556a^{2} + 257608129139950886610098120128a + 74728117604421003037508641724)\mu_3 + (187499929059638459963569316457a^{2} - 29754547467461684562486851637a - 153769751456918971107302973891))b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 1)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 3)))c + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (3a^{2} - 3)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2)))c + (a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} - 3)\mu_3 + 4a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + (3\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3)))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((-2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((4a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + (a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (-2a^{2} - a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-27575889698476166928797417056a^{2} - 296509441549227150356013568408a - 107527368916103325172113146624 )x^{47} + (-62807447859397454526800999084a^{2} - 232691750386703585009711894452a - 378348329037488675747981687804 )x^{46} + (-227630490619855248069319308160a^{2} + 405717278694453664138047976472a + 226744067550328741351650238744 )x^{45} + (-226284274678283324892896473208a^{2} + 443715295122753019183998167136a + 234455307027037295815508413784 )x^{44} + (-341480898458704054245431103424a^{2} + 181922380359090409793399240936a - 405454946503991610078563136232 )x^{43} + (400892230803226690579858629804a^{2} - 392010103314782415451536539676a - 61730208953583204130176672476 )x^{42} + (233052356963175868812003690792a^{2} + 608474146713713268126730723032a - 151400329572530967721119812136 )x^{41} + (310376128665688702054765146956a^{2} + 110890452363425412351391929944a + 217391347843755686348623570932 )x^{40} + (207941940928249091987222826448a^{2} - 67246772705101625727148726928a - 70224119650219548369756039536 )x^{39} + (462969655699061196547705572228a^{2} - 454135682785993598841230965760a - 73127255095612201048520069988 )x^{38} + (508651386663491195435068662792a^{2} + 444932715284074810304395577896a + 66422277420439997665555197160 )x^{37} + (180501529535463757865212358044a^{2} - 481913680193665969399306092860a - 580740388588001680317001909648 )x^{36} + (-575065033708153110299096247952a^{2} - 200313405836021810897449867472a + 332238582558536866786805601440 )x^{35} + (-509926662900000597908410045992a^{2} - 500444036858178991289058702212a - 81821648412272816677379370056 )x^{34} + (161356945208132069911317597552a^{2} - 605273020602412136274407663592a + 626994779616571132580881666648 )x^{33} + (472501743333121710552631747886a^{2} + 210116188360740105697605205934a + 229310539845805992442163988772 )x^{32} + (317555010569562939921235712848a^{2} + 318839251081227196827145473840a - 436576566783608558186425820864 )x^{31} + (549905945646444722627541442696a^{2} + 633085568182977837544489763856a - 283845230011742141328835481728 )x^{30} + (577454131281877107193833216936a^{2} - 518286765428799344731792119160a - 615930818451452372498317488928 )x^{29} + (86202220412988240728598646020a^{2} + 174118590166207004124824060848a + 522519585185778924004693466724 )x^{28} + (-224739257373443355464360327664a^{2} + 87272496338319715626359622752a + 214466164354493604764576841136 )x^{27} + (-404705334648203341049649563600a^{2} + 586766447303725406755754206336a + 459379580838595819739433023128 )x^{26} + (-19119381581742217289666918120a^{2} + 293694714447481396689701934352a + 520690994276791419750398930552 )x^{25} + (282016575266412190134909283832a^{2} - 92730301597167956778817392628a - 120574528405316944958156229920 )x^{24} + (500024159283341007478503648896a^{2} - 595947319264226661935376439328a - 73019743664909767705899517024 )x^{23} + (425613407309601327796362258056a^{2} - 605590891951796290344451210944a - 233813193390928993177236569480 )x^{22} + (396715170941027953419590059280a^{2} - 437798181490446677377054127488a + 316655332158388533601945287008 )x^{21} + (-443277624778037133369114815856a^{2} + 609555216238958949455161025656a + 199082164443766527847085131424 )x^{20} + (41620666847724693293496071792a^{2} - 473114919628828985457364715376a + 18536933187294121116838036352 )x^{19} + (168150220804561290022081522760a^{2} + 393966733206676576397455772456a + 364139434034514608491779930792 )x^{18} + (-80340705464748932986536154160a^{2} - 95778329933548831400598123216a + 520930235067269003653026220192 )x^{17} + (-315659600165333189598477000952a^{2} - 407099855849543265318854507776a + 233353265743049915646273851204 )x^{16} + (19181901318846860342943284352a^{2} - 583876143533743950735156062624a - 572928375312841167883708715168 )x^{15} + (186695532748360268590021294528a^{2} + 362736087406348396307217324304a + 121176891096991660845526326544 )x^{14} + (286963648240766471155451935696a^{2} + 517627470082854171221217633632a + 107046094176208460842756860784 )x^{13} + (225978504708369535845717026096a^{2} - 126629076291741463271569200264a + 571088184686909305260218492256 )x^{12} + (-496426238378895849017782968192a^{2} + 442545048372422526140433607104a + 247928922748080190076045199744 )x^{11} + (-565295508096560286086336548104a^{2} - 625178634695901987297202722656a - 129467636736457600019983989776 )x^{10} + (-524072169647230035908396367392a^{2} + 261455625531160830574950990640a - 361195337957597042436333714608 )x^{9} + (583092953054241751099493722692a^{2} + 244958758959572221995150828500a + 268097437818915923128940637244 )x^{8} + (293061549597244137336411976032a^{2} + 549583691575701782919485504800a - 467593981415724357272472507616 )x^{7} + (430322843259031191473497716656a^{2} - 256848107295105410235439393536a - 114872027547150809940323420928 )x^{6} + (348709422417168309481691541056a^{2} + 25798147166044835261341598912a + 201830852165553605422620097664 )x^{5} + (-146881099173444360986488673888a^{2} - 494881017358971287475963030400a + 221229778725902187570974222888 )x^{4} + (-209321366223119885922498628640a^{2} - 400258635708502166704581651872a + 564528984507967900497660357216 )x^{3} + (483216189724046969850420501904a^{2} + 125319111320437810806963536464a + 472435634052790464179949940240 )x^{2} + (327569135975821538909483163488a^{2} - 353709917959635957852429910560a - 145217355660391547514837857616 )x - 357131321259122958748963565068a^{2} + 488986898101650199965317150928a - 317418044318094970250361205888 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary