← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.513132_656914_905854.i

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((-51597045147090571702797399556a^{2} + 257608129139950886610098120128a + 74728117604421003037508641724)\mu_3 + (187499929059638459963569316457a^{2} - 29754547467461684562486851637a - 153769751456918971107302973891))b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 1)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 3)))c + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (3a^{2} - 3)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2)))c + (a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} - 3)\mu_3 + 4a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + (3\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3)))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((-2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((4a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + (a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (-2a^{2} - a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-27575889698476166928797417056a^{2} - 296509441549227150356013568408a - 107527368916103325172113146624 )x^{47} + (276721443732045591840814668564a^{2} - 344811998569952862190895280668a - 625754950510562086512124730132 )x^{46} + (-304582128652809380953168103776a^{2} + 66915071554198083818771036344a + 487857409412130840633412868232 )x^{45} + (427074972328293619047958893056a^{2} - 44552407156803778031943069616a - 477411256658888162836471667040 )x^{44} + (-579225755753274947925667982208a^{2} + 291034417646843178197507738584a - 431525732939201912385357457016 )x^{43} + (482922798172937048145053202276a^{2} + 458608992737353599650436290852a + 244283663917044107419867445564 )x^{42} + (-324486355068617159486760670808a^{2} + 61804750884832701396752652816a - 247873896770116787995300416360 )x^{41} + (263007345505174049307939075660a^{2} + 64555621932964487231874270416a + 79492299436461819048579227340 )x^{40} + (-618687367171678261292406123728a^{2} + 358061454522965200610464096048a + 372036243914245538496132049904 )x^{39} + (566872331244994111930319625796a^{2} - 587457412323686287883346541920a - 538689895687821061871806622628 )x^{38} + (240736187003720979202583398904a^{2} - 148295455397107721938256115736a + 603126291794699076443348713224 )x^{37} + (264137991392891522453987544404a^{2} + 281013282266104084462556577300a - 318334708170979971227893960600 )x^{36} + (285531124915608184289174613072a^{2} - 560622843561251047748976684880a + 467630251561060287029264195136 )x^{35} + (-258787057007134791588627421848a^{2} - 325478739425906539956020879972a + 521733042254328718254476888440 )x^{34} + (522893456238137942379439626464a^{2} - 522808920173256641944813669208a + 9381960132117129077544601976 )x^{33} + (563320846256431722475087947618a^{2} - 592238027093878650787886435658a - 478399662523144923501163181592 )x^{32} + (557136067642275979384684824912a^{2} + 275030424142969869326590933936a + 434633391476949011717518745216 )x^{31} + (584754812252904506972389172184a^{2} + 340044008921523344216217913392a - 507841870618007363067558963040 )x^{30} + (236252456703546698001211081256a^{2} + 440403157778778534131173717736a + 517739164300376344939555338816 )x^{29} + (-343015975087982461074575149092a^{2} + 378649545928328344997152846752a + 282641285400503139952342691148 )x^{28} + (246150620752377003101862445968a^{2} + 506631088198555504904474664512a + 340573709378246601146116686512 )x^{27} + (448634489481447110062333409776a^{2} - 392918173909789545917662780496a + 470101583496235515651477505864 )x^{26} + (222231215374177421646950596424a^{2} - 444591988491324576828339641360a + 380543590628907736302014422296 )x^{25} + (260468272125647990888778211744a^{2} + 576934565805720388103996173892a + 415527517223640891975315111160 )x^{24} + (-374982985752834571163621720160a^{2} - 505295631381955317567764743232a - 535189661511013588071552637088 )x^{23} + (-86902819663037736783996557784a^{2} - 251682053827625952831950483424a + 49772209866229636232288348840 )x^{22} + (539401871165107499267038338352a^{2} + 507369514078338182835721057760a - 27463768898926516799049612160 )x^{21} + (-173905134272015959884196164480a^{2} + 496932482018046864375357810776a + 263326200147191784900930017008 )x^{20} + (-586103889065413308888601722704a^{2} + 594220834408816840771361811248a - 245445498296056511422056332960 )x^{19} + (-595312762083238402358527843336a^{2} + 61819695669020137608267173656a - 162935365854683643518297522536 )x^{18} + (-480365169152123057083842876208a^{2} - 234148379803705843804626997584a + 595047132702614305511638771136 )x^{17} + (15305145419491442855558550952a^{2} - 592344947831219692180553274320a - 196008862667277657277117124188 )x^{16} + (-344024921522721400639786291456a^{2} - 393824538945954374367324546848a - 200342482580041821790829725984 )x^{15} + (203567686034535623292816498880a^{2} - 513097978749468043382591745840a - 182853954774944916414131205456 )x^{14} + (-326537147226112884662897033744a^{2} - 374698187434877539330357532224a - 345340191875907986310022788208 )x^{13} + (-603717024341993997885737012752a^{2} + 412823537860220365732884330520a + 148200267109610864465485941424 )x^{12} + (-300432782038612384021897189056a^{2} + 49271376523083071437977402432a + 160529856164756837127155182144 )x^{11} + (159563033360371862091165516744a^{2} - 35722268092387486567262347536a + 434367990829284587752941461232 )x^{10} + (335636503274824241680151010240a^{2} - 537574317030437756084478931440a - 132789124423239954598554952912 )x^{9} + (-240096953474379785918884947804a^{2} - 6485297441338713377109188444a + 164546752962957896696384542300 )x^{8} + (478068624860377959833718590432a^{2} + 63636879019660483527162196320a + 161793593466011272048650764512 )x^{7} + (503387237938358480372369355696a^{2} + 198797967101828849200960161952a + 608814312235136766575343107424 )x^{6} + (-580852966420633795654318565184a^{2} + 144043269827745626794176677696a + 126313538381958063017263962976 )x^{5} + (-599696067845497000492536930416a^{2} - 352609264884488038101665051456a + 509714411343660323153927715448 )x^{4} + (-314287761364221340191123766304a^{2} - 84668611506873651425160540512a + 336528932687999761700163351520 )x^{3} + (-116776596849936744340848343328a^{2} + 41608416947827359052079891456a + 262512547490903349432532685312 )x^{2} + (559376692524471319836282271808a^{2} + 365495449159708056883766053952a + 144113670921226382134431160976 )x + 57323036916859677063702696468a^{2} + 266975235285359617149984627856a - 64976898185528586208293993184 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary