← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.513132_656914_905854.h

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((-51597045147090571702797399556a^{2} + 257608129139950886610098120128a + 74728117604421003037508641724)\mu_3 + (187499929059638459963569316457a^{2} - 29754547467461684562486851637a - 153769751456918971107302973891))b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 1)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 3)))c + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (3a^{2} - 3)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2)))c + (a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} - 3)\mu_3 + 4a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + (3\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3)))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((-2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((4a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + (a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (-2a^{2} - a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-27575889698476166928797417056a^{2} - 296509441549227150356013568408a - 107527368916103325172113146624 )x^{47} + (-416936302611802492912763510828a^{2} + 399404690251996299892755867748a + 254442132295513049713808312212 )x^{46} + (-374518027650791653382917037648a^{2} + 548320766939811525649688435112a - 543307527068696297025982885144 )x^{45} + (297217902158192692013596869176a^{2} + 278303000170465537065636642264a + 538589767943700150423599479056 )x^{44} + (-468459190398298207659341877920a^{2} + 163539418699668261708606693480a + 280792655671857673052741087432 )x^{43} + (169507499194602112823556380740a^{2} + 470360522242787296433240029484a + 247676815194106353284278106580 )x^{42} + (157549516876637617919651866784a^{2} + 395204203825124287841688351936a + 63010336396916353405902184760 )x^{41} + (293555064283817630581919865168a^{2} - 249768559222100324052686798100a + 133240136793399837686958113888 )x^{40} + (-563502799866500188634082793264a^{2} - 12072920908812335300962074544a + 192988256590167741223243301712 )x^{39} + (131511422050286694509471669572a^{2} + 163837353018876948715726076976a + 485307155625943531586773999420 )x^{38} + (-35514927521785524538065310696a^{2} - 538160472498289119472758687784a - 167250242410705944484342022856 )x^{37} + (-377130483455165982763696903916a^{2} + 206010992566267179445311861844a - 351717566769634320015627124384 )x^{36} + (486151938586097090268574345648a^{2} - 392287136388252314907752893520a + 605307433682067985544868408128 )x^{35} + (309613968323533594005585530040a^{2} + 627512216499467876567937281372a + 168861513399356964455477602144 )x^{34} + (-598517179182802346448031726720a^{2} + 351880347551115889446146031224a - 13640778326548806679054083848 )x^{33} + (384495832046349725583935015922a^{2} + 338587372986672039386184372154a + 100283808180611522265652594152 )x^{32} + (137274550706634931308759090032a^{2} - 97796950393316405130795108080a - 283214164142081893336910449920 )x^{31} + (192189941878883884759090814760a^{2} + 479473793505694480346036870704a + 424052621463115484448354973248 )x^{30} + (-320492635613276245493307455768a^{2} + 238598872864228356734786258472a - 125172292535466679129039987648 )x^{29} + (16191446055692515762144609788a^{2} + 584610750793655416230091374152a - 192143306155882647617656605892 )x^{28} + (308227983880697470237547310320a^{2} + 491430000367827441375331606432a - 589136449049016716532348706640 )x^{27} + (-600894272603945554394528510240a^{2} + 607176461882703485351566165136a + 242021200901300799359534138440 )x^{26} + (-427212305017614872865530567128a^{2} - 351706587660367458687905011008a + 492995304281301555770392320488 )x^{25} + (554372525462375052495379199040a^{2} + 132087967992920970405574814796a + 21947648169125870483219282000 )x^{24} + (486833301915929882693929042304a^{2} + 285340697697833100610526057728a + 304790031953348513700395852736 )x^{23} + (-596627463836119813350300860824a^{2} - 524285970410897116820613907040a + 159669487272257292502696460392 )x^{22} + (437974186528506107379073308176a^{2} + 429354629024243173695936459104a - 331443185575186844774606072320 )x^{21} + (-343645071802308355905131340824a^{2} + 163162470837066054273594604160a + 576321630587767716298274619360 )x^{20} + (539397172254975851325268532304a^{2} - 508516027052036133679105097136a - 460383552965666910781457305504 )x^{19} + (271185554655772232023283340936a^{2} - 214730003351503805714802468632a + 415805067832997187174291214712 )x^{18} + (423308034781902856107297278960a^{2} + 492651274835322168710052111248a - 2482022907659974063833115168 )x^{17} + (561902911424269172862575539296a^{2} - 286288426734165868275047354640a - 28733791062187654243743802196 )x^{16} + (575117579723661843713194620736a^{2} - 90735689906219058776486426144a - 288381791014323851493436700256 )x^{15} + (-556140239336847761330950231168a^{2} - 276919614862244879078031177776a + 50253291486772411064801256016 )x^{14} + (165004345361965419089260429872a^{2} + 180197657817684598070739950560a + 78121374488603055455540699728 )x^{13} + (-306530856955383401256068213440a^{2} - 278187461853076839106670662936a - 395219720684930053702703645504 )x^{12} + (270487983376882041705000340256a^{2} + 387852740420040881089876129280a + 85214754232556461541089508864 )x^{11} + (90855330551564922935969348728a^{2} + 2587475600679673999915214080a + 373333309808929828623291609120 )x^{10} + (-375851144424046588920775217920a^{2} - 534792584815560648788671605872a - 458703065285469478515248869968 )x^{9} + (281650552839327385115423901300a^{2} - 276682873019127643393870452380a + 346659902749502085931609052396 )x^{8} + (83118416704162918710736110816a^{2} - 30792329627329341823130242336a - 237466034106787301410745051616 )x^{7} + (-125530357313850446997653730448a^{2} + 185923545104418620515205757184a - 403517397310106547063720469952 )x^{6} + (-414018441596952386572019284384a^{2} + 556650573431410905121508584704a + 434239806201775077461941492512 )x^{5} + (275015246581684479497847943920a^{2} + 427391291204365101759381818000a + 356321164055144731635576501208 )x^{4} + (542903772645141845337637903456a^{2} + 324474534823639862726324343840a + 528970961884211182825449978464 )x^{3} + (-60542713723967188134718606384a^{2} + 475095569531433185115967656320a + 479729633968063088755534636240 )x^{2} + (258952246723584331311358431168a^{2} - 364791512123042572624263743744a - 314016847226181198133212875056 )x + 443114910096777543917158130356a^{2} - 576528212880195586226175171568a - 319824896247162194318010462432 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary