← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.513132_656914_905854.g

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((-51597045147090571702797399556a^{2} + 257608129139950886610098120128a + 74728117604421003037508641724)\mu_3 + (187499929059638459963569316457a^{2} - 29754547467461684562486851637a - 153769751456918971107302973891))b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 1)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 3)))c + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (3a^{2} - 3)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2)))c + (a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} - 3)\mu_3 + 4a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + (3\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3)))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((-2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((4a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + (a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (-2a^{2} - a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-27575889698476166928797417056a^{2} - 296509441549227150356013568408a - 107527368916103325172113146624 )x^{47} + (137896628890227449665993367956a^{2} - 127856985618553674875397710388a - 272868037809863214100061104644 )x^{46} + (321003694500343444813590542000a^{2} - 120855675377385649779659855640a - 163015184622080315280056565960 )x^{45} + (-429070161944517224602301503072a^{2} - 393990635345364596271352478792a - 81612040015210757981445935048 )x^{44} + (297692053239285961239034333984a^{2} + 558857094210575292542209082232a + 369829661200338380742547158200 )x^{43} + (279477356576758446949016392924a^{2} - 54153505292290210969168300356a - 573251436345917531396833094228 )x^{42} + (-323467256418013333747947446224a^{2} + 415995458068358992293180387960a + 245906179499880060677382017992 )x^{41} + (-560586685598590223006972688920a^{2} - 588068458898210159552723709284a + 290858689045502137790377467056 )x^{40} + (-193033689583967862094494889424a^{2} - 212385573572152699673149469232a - 264842576005064508285870702800 )x^{39} + (-414804196340288883574820830780a^{2} - 582354747806889275848350652112a + 481821521261680079336738918396 )x^{38} + (-241071614495798654486896419800a^{2} - 452888973152695305760115031208a - 260322951374419899399710650568 )x^{37} + (-183265734979040919599336311572a^{2} - 230880439508510141922728609708a - 466776214792743616272551961608 )x^{36} + (-90160393551479923373099603376a^{2} + 589052602221102812204264591312a - 539104303415344245105666214016 )x^{35} + (487804634057767545378087648296a^{2} + 254307147046017868665545476316a - 210197100943038790062448789408 )x^{34} + (63471480444266828241572034800a^{2} + 228202771359130990909408137416a - 208910420519830896778950172520 )x^{33} + (625923926257953715070840759358a^{2} + 211621800136388373694981155018a - 617002527814504018574752576004 )x^{32} + (69411963021874027923284656368a^{2} - 158492999092754410422385908720a - 359073111365454931767395731136 )x^{31} + (-286517639158009048386087844968a^{2} + 302340897119132702925406039184a - 216670213432166546444278989664 )x^{30} + (-39070883297135669951367115992a^{2} - 148776599780474967046924246904a - 423317160597782029740450764192 )x^{29} + (326733640197787069602297118884a^{2} - 570807341265625578742965404248a - 592729214845543795179202413436 )x^{28} + (601464451001731426972262894704a^{2} + 317810405027011182485090133888a + 309600844535282203826051091632 )x^{27} + (623061800067845477726988565088a^{2} + 606871966169982697572232986784a - 317927546429915132064608023432 )x^{26} + (-297634029487118770384176855816a^{2} + 64996259355263314976056349408a - 3832318776245383420985917208 )x^{25} + (322348833346605601343659449368a^{2} - 339759022943761968472048281452a + 497333631720609316473408108488 )x^{24} + (211190909628986166859889309664a^{2} - 503751798667417531682615737248a - 547139831436019634398417453056 )x^{23} + (156774081360065598299239829864a^{2} + 228529201559766455693773292800a - 20175067833615168002835054824 )x^{22} + (153071981839366598790964692144a^{2} + 103600726378921811264230609152a + 158743912007110961916670899616 )x^{21} + (363276489582543861397553790232a^{2} - 162966249425661469499326952192a - 208406786312463699452456895120 )x^{20} + (197826771173644912935288929616a^{2} + 421084667098223697757355448880a + 408893779919597826000021594944 )x^{19} + (-403317506825110955135296745384a^{2} + 130062139137553240149807458072a - 133992340052676428469984587448 )x^{18} + (-322949999471080886876657410000a^{2} + 471103545525002214676270989168a + 432665460846055337193107226496 )x^{17} + (-534378124179583832281422910256a^{2} + 124646593266069502585641111568a + 526348569231263372316006113212 )x^{16} + (-573944760099468224000328581568a^{2} + 210768090608100781479893172064a - 29263343826939407471495920864 )x^{15} + (336675216519416206333779333760a^{2} + 303508330892036543638990918352a + 235005023091560474115167214448 )x^{14} + (-107297816004529245579197606000a^{2} + 632920679226818261371999185216a + 172112307084213293953171311984 )x^{13} + (394839683257981607767540858464a^{2} + 254276227597033159166619862248a - 32864547432800223912755860432 )x^{12} + (28302632514759497326244911200a^{2} + 460841785334631042570839297024a - 169861726477288090734644764992 )x^{11} + (-545406981329526127198411332280a^{2} + 633754230061330876911026326128a + 116681377324680374518047225760 )x^{10} + (185547231194632044912188413920a^{2} - 274938110213370970370528761296a - 341101989926258327304670745456 )x^{9} + (-469261754539075036216810673420a^{2} - 120099074633260299446635150476a - 341760196355782914222711294260 )x^{8} + (-329090922296840830037109645088a^{2} - 447311118062060451277335381984a - 29286354754427334961682300576 )x^{7} + (-114877561844265843588688848a^{2} - 307668347734895936625999776a - 482315883445923569342816690976 )x^{6} + (191895664941124141877127676000a^{2} - 39375774734037529140417716928a + 6798758625288189613132994752 )x^{5} + (294054293327451527624625360128a^{2} - 206269501787961391632724782672a + 122817216066110256949486776552 )x^{4} + (480779084656344552224997131488a^{2} - 330597017556714212259496664224a + 160386638939449868754011207264 )x^{3} + (-406951160022454162253289385504a^{2} + 492084533965349615745188361616a - 339215958766596055903038181088 )x^{2} + (-309966578002113982248311379424a^{2} - 208672208906196986986035931488a + 161144642767404594732184763568 )x - 405363869709937607586369164556a^{2} - 147509600841998763877925520432a + 482536024376246639978281804320 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary