← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.513132_656914_905854.f

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((-51597045147090571702797399556a^{2} + 257608129139950886610098120128a + 74728117604421003037508641724)\mu_3 + (187499929059638459963569316457a^{2} - 29754547467461684562486851637a - 153769751456918971107302973891))b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 1)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 3)))c + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (3a^{2} - 3)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2)))c + (a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} - 3)\mu_3 + 4a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + (3\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3)))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((-2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((4a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + (a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (-2a^{2} - a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-27575889698476166928797417056a^{2} - 296509441549227150356013568408a - 107527368916103325172113146624 )x^{47} + (-472931234146286082833336504788a^{2} - 262507537523686236626380596444a + 286386504080579938557173570540 )x^{46} + (-623541430382193646031470869680a^{2} - 328220024979872627135638926152a + 337398530997260598237091191416 )x^{45} + (376952644629156105319475961376a^{2} - 590293196134523762701236297040a + 249562877263400046173667974864 )x^{44} + (-494020126021674459419848385088a^{2} - 491735286819682132269181161608a - 239195229171118263846377522232 )x^{43} + (-400150501353778932953519079668a^{2} + 288726787290531802554205438572a - 523900836303069735314484160876 )x^{42} + (633064826361319871547326197792a^{2} - 602475687835974459372299487776a - 300976493252209358255470474352 )x^{41} + (180626693381226405013808340680a^{2} - 359035466395230926310491525436a + 92529917606460462516727309132 )x^{40} + (-168208930009379239807455769296a^{2} - 299072781648355763302017834672a - 71583625634203728568026855600 )x^{39} + (-267964926482840051234759990316a^{2} - 20096771917835954427677038800a - 103641165677395156443618651156 )x^{38} + (-116936018155856570162908669496a^{2} - 525785905710493252454348347048a - 228476095628566546436788802216 )x^{37} + (-5414773291911742305519286764a^{2} + 109651389235458636166217272076a - 513037821122265258934160519968 )x^{36} + (389198921088469499779194140464a^{2} - 387352213616502019831463526384a - 47255588540312731414691547712 )x^{35} + (-488511707059188851042303525792a^{2} - 489219372579716401050773841020a + 29333057872844117526095686928 )x^{34} + (-394229019617996979128085106560a^{2} + 564362415527201548084343941752a - 304505485756455490121838358360 )x^{33} + (-412510817738574091144528974170a^{2} + 521502775768225253510856769126a + 557199374576188822974890454072 )x^{32} + (-517603784890709190220093170128a^{2} + 397331343331509657310540949040a + 545449007160295118922607194240 )x^{31} + (471977063889884653371458183576a^{2} - 353470232684539768667906310144a - 610270074846828200684280442768 )x^{30} + (-572232646025757658021127818264a^{2} + 328436469913789788952024678568a + 375105931572592191073530570688 )x^{29} + (102886218346487170062188455292a^{2} - 226361390892048848645900221288a + 325349235885057635991751990732 )x^{28} + (-147429776866280349691200200976a^{2} + 546473211829947794728830191936a - 11085373788614130927293296560 )x^{27} + (615158422349534544924091515168a^{2} - 157477620368918577443628811872a + 467116318730405385606775912920 )x^{26} + (-41844008757394490763185078200a^{2} - 157724712918357007272388572240a - 604196878668208371768953475160 )x^{25} + (71503904238769973086168710848a^{2} + 484743522483531320081053382716a - 42368060059745898014141501400 )x^{24} + (-259478573200426425773497076448a^{2} - 177616108753351685626976842624a + 380735102706342238130774057728 )x^{23} + (304097644236380394971701240168a^{2} + 452075989016636826962941106800a + 148722697158808184329988225432 )x^{22} + (14385680007258908154065317552a^{2} - 406815987441557458882408497216a - 84022905788437251463553539872 )x^{21} + (-456308998947228070447288889744a^{2} + 430892956476564461128895028448a + 561077113618765702904838449464 )x^{20} + (-199288900295157629305429648432a^{2} + 518334649878416953787553911664a - 132870616328543179912358746784 )x^{19} + (149160026910526830040411290616a^{2} + 56588154719946656640069262664a - 410760585093753053501898226824 )x^{18} + (486210223593158131221872375728a^{2} + 340811379813589462565908023120a + 473839985483624228100388836480 )x^{17} + (34460332116383875420950602384a^{2} + 257946431042576096840295400600a + 630574224347042035738698637516 )x^{16} + (627999423518020551378889418560a^{2} - 193290519905911121411303997920a + 598545903993060496091609733984 )x^{15} + (-289982862485583146134315929792a^{2} - 421256512725304924846230915728a + 407360134813675265447083002064 )x^{14} + (-555840041828315760408781007152a^{2} + 551998133703749978304623032096a + 354884837321326755007743405296 )x^{13} + (-161194736419461308134814883088a^{2} - 212026669299680536744965766904a + 329114602574501483411455614976 )x^{12} + (159963154725212701004419069440a^{2} + 167385787419172382437752559136a + 525916639043720388586404983296 )x^{11} + (109926616669867967704273788824a^{2} - 592479071319515696953483571280a - 501257550851705851978703976592 )x^{10} + (-504305515465504373984304813280a^{2} + 275689631216146776666858826160a + 30062118671722528456690839376 )x^{9} + (-571111180871896165273359719772a^{2} - 291413144619303574016730224524a + 212287867606390563822370392380 )x^{8} + (-249098755739854844713826990304a^{2} - 216414839859873932312431952608a + 574356880468047404386864626528 )x^{7} + (-218056761249729996796427408944a^{2} - 431188201300895235688379571872a + 566403675943562040173049474752 )x^{6} + (512982677151889615671346144384a^{2} + 369882450572132351597114209504a + 484225568058881161391809591424 )x^{5} + (168102409330398104776355317616a^{2} + 543148657347270187273748598992a - 562979860141853772410806196280 )x^{4} + (-248137095273527801845049972960a^{2} - 396372966259840031870011737056a + 362777995761349316335199480800 )x^{3} + (-483620612911845503800397894080a^{2} + 393644407636445250103137313968a - 516078223731254453097436961232 )x^{2} + (-18860354658591038324823148320a^{2} + 363021111248333052323085534656a - 74145677990308942939237147984 )x + 137207732472626105558189781476a^{2} + 21992701471860046188827230672a - 495217780189152141260266318208 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary