← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.513132_656914_905854.e

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((-51597045147090571702797399556a^{2} + 257608129139950886610098120128a + 74728117604421003037508641724)\mu_3 + (187499929059638459963569316457a^{2} - 29754547467461684562486851637a - 153769751456918971107302973891))b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 1)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 3)))c + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (3a^{2} - 3)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2)))c + (a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} - 3)\mu_3 + 4a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + (3\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3)))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((-2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((4a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + (a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (-2a^{2} - a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-27575889698476166928797417056a^{2} - 296509441549227150356013568408a - 107527368916103325172113146624 )x^{47} + (326419803585720315724833788764a^{2} - 56848262639277771435496893652a + 447010820763713061880269356900 )x^{46} + (-563666235699044669468528682864a^{2} + 567900841057787092636642536344a - 618052605004241151100063103832 )x^{45} + (-235121536793164726184766833384a^{2} - 143738379307004824484583987632a - 36709265272414468073391368072 )x^{44} + (-632104453419092658315526711904a^{2} + 361347386620099156545075747848a + 102743494596511452900923818008 )x^{43} + (-628443828017790076724586803996a^{2} + 311433948632842180605587138860a - 549003519085731495398069508148 )x^{42} + (-425661554869314461396822798528a^{2} - 20737126361232395041210090008a - 443559258327724517399467395776 )x^{41} + (359413603855989126166552904736a^{2} + 156829122527090198305995298196a + 371885164991205297002012977508 )x^{40} + (400905364743732831606472925456a^{2} + 579628506254653091705244671504a - 138025223634137479100848699600 )x^{39} + (9598709238258367849374218836a^{2} + 328108456786357069558727468336a + 372419255910472763284831147852 )x^{38} + (238612791552130317435746568152a^{2} - 47874071667145399908367377928a - 529668143103334949997211302152 )x^{37} + (-127568049956473400366637104900a^{2} - 237870950950942469040623131316a - 47130305584961512414968308280 )x^{36} + (451546658686401086545794837232a^{2} + 488485233760088155158848121104a + 256968933526199621002686669792 )x^{35} + (-149933596399957339025606483856a^{2} + 186777054269050296469433471092a - 174508914038416532882776809568 )x^{34} + (-71518994929197154088926993808a^{2} + 116474943231371072062176919592a + 75894743622181464400188767080 )x^{33} + (506953563553846665446292979994a^{2} + 82839886113119547639831875798a + 338536186215854949958913536044 )x^{32} + (-125205752433429069718613026256a^{2} + 591745621614413162829480199088a + 21844642768095563705048819776 )x^{31} + (-343877597810026844914307713880a^{2} + 212869568090787122184202403488a - 59701319902262461795733296240 )x^{30} + (-547880245807250763537338299032a^{2} - 30629307861284098767726903480a - 91853580014840041498976433440 )x^{29} + (-463383172915531608301574781420a^{2} - 335922554742552860639938552712a + 77389302533447077624362616116 )x^{28} + (144980077486256659902091054448a^{2} - 184804784819141666002744904288a - 94948278088236105176490060272 )x^{27} + (583512048892969657406608965280a^{2} - 472467576456541850792660844112a - 335371215115298094445830249400 )x^{26} + (-481424497821977280247559115080a^{2} + 454387929263099273343078587568a + 271949747895123198444026342440 )x^{25} + (-496094933125881029972974366248a^{2} + 86750526240120632511674058212a - 471702575960686927382178691872 )x^{24} + (455274878480423407957407524480a^{2} + 293558755862814798952455846752a - 164664397124562869543682455168 )x^{23} + (176386991054994233157393300904a^{2} - 105694105328306540863801428368a - 175123330829703380654858508664 )x^{22} + (-114936365668378859318682580336a^{2} + 407387961949785877642682173920a + 443466933349208572516792117824 )x^{21} + (-393254812904730165441666007616a^{2} + 350365409802922957678353947424a + 123571719154218330889069487464 )x^{20} + (90554830407499242706284013840a^{2} - 502844153507358408934614410160a + 550991446657745906313778421504 )x^{19} + (-309127062459005243745776941144a^{2} - 30733610972039823681141021736a + 418348623337701230046077615944 )x^{18} + (-17215648205615153506302528368a^{2} - 305538867246199473304609939824a + 526889173524228281372993187648 )x^{17} + (480044350084156670731384780896a^{2} - 622474752047509727146303205416a - 349965912578035450897534958932 )x^{16} + (410371998768497027424188803776a^{2} + 517455570154884202250978202144a + 451388162696134155799554690656 )x^{15} + (386170624743965660025317483904a^{2} + 455266623845913508580211734768a - 210551912901189882913064770512 )x^{14} + (-213208118417616444784317998672a^{2} + 81593240009427155286434266304a + 626760664156501490209156952400 )x^{13} + (616628372590739607211966426064a^{2} + 426058125388161497707854364360a - 359199220889580426857944332752 )x^{12} + (-340079095889407362270526684864a^{2} + 605150443501171994243609152032a + 349445319879205016583341507776 )x^{11} + (-262276622806938733255288678520a^{2} + 161532871025055237924382676896a + 15417149685176895678693549616 )x^{10} + (213812407480268976085044387776a^{2} + 374965614340421131306899853328a - 354528321026015327202750475280 )x^{9} + (-298209551214804727729512327740a^{2} - 550720387172854518737596583068a + 451276920763561738527111113724 )x^{8} + (325832225370590820799829795744a^{2} + 352630737127901031617362251488a + 62555019303916072052504302496 )x^{7} + (-190407119913928539916585650800a^{2} - 112177097548501477490897710592a - 185010592991036175358333504416 )x^{6} + (-102633756648083485700137133504a^{2} - 540188471250418490626872375136a - 157278792422506960328442849952 )x^{5} + (-473370940393658216859494268256a^{2} - 11742694055436601514981433168a + 526753034694266707440509567224 )x^{4} + (-36881103076340981366960290400a^{2} + 9936043855101818889045880288a - 114130026985019162028589213088 )x^{3} + (493230836378545190077213121936a^{2} + 238124638429568738024451627168a + 241140799974317619708656745856 )x^{2} + (67051902412480934249466296384a^{2} - 459901580141113724764929393056a + 479559356945336024418866270480 )x - 585716008948628964757836596796a^{2} - 384478151812744330763544762064a - 518722942403169905320546859616 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary