← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.513132_656914_905854.d

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((-51597045147090571702797399556a^{2} + 257608129139950886610098120128a + 74728117604421003037508641724)\mu_3 + (187499929059638459963569316457a^{2} - 29754547467461684562486851637a - 153769751456918971107302973891))b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 1)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 3)))c + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (3a^{2} - 3)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2)))c + (a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} - 3)\mu_3 + 4a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + (3\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3)))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((-2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((4a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + (a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (-2a^{2} - a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (416757353846939601845405407816a^{2} - 183869166064060462741424556352a + 129177159993556290774479904232 )x^{47} + (515876856038705341355496823516a^{2} + 366628637346626557962814615292a + 307287493099005758091179421192 )x^{46} + (-511461035370169512487562771600a^{2} + 199900494856598612751541376624a + 306591615742273912677541371320 )x^{45} + (-390831678027761507090283042960a^{2} + 630270541693118497755910017084a - 615795360302084094001937727088 )x^{44} + (-394979612333517862747228300000a^{2} + 489202401666515320632367742144a + 3555988250773803498064448464 )x^{43} + (-445512502923269616411522787552a^{2} - 339878556207184417493561511996a - 262967369750601736989846078616 )x^{42} + (188459790522621556465544486200a^{2} - 263067061294309247347607205680a + 269285615482857446267781147888 )x^{41} + (24930035773456226437267856524a^{2} + 309191602886423896215797676012a - 618329258033041768413323585752 )x^{40} + (-279345432732678856138483564992a^{2} - 321530038420378311093101899184a + 427555375907165062875364407408 )x^{39} + (-195296345463761672987851488920a^{2} - 408196532468310165539891225840a + 329856814379292564786365141864 )x^{38} + (267733107533918734905224845936a^{2} - 35031718060582995030646211016a - 458889965666203561522806564728 )x^{37} + (363767214040363612883234496856a^{2} - 556058002079586541122304759620a + 556281397024740277255120647472 )x^{36} + (167997974705090140867582273312a^{2} - 312856818679850466248604298864a + 581799526936246235459804259920 )x^{35} + (-106400257725314747982648153160a^{2} - 58848270543587932918197124516a + 435806585326872032280540842152 )x^{34} + (326251923508774369224480143016a^{2} + 615537663445273147862266973904a - 37943274924873971137869970704 )x^{33} + (248417785744728110446168073112a^{2} + 422190378169415772377602539610a + 175301840900781160118615419524 )x^{32} + (-452420823002327658549424239104a^{2} + 501817924630110463017550655392a - 598360363828514539850109394672 )x^{31} + (-445388409894966997066671369872a^{2} - 589752153707719923183504557928a + 150451674484179106858360703168 )x^{30} + (-446622553317209608951059337312a^{2} - 406169031598273508230613760456a - 434887548906226953695778557376 )x^{29} + (69422801384951467788122392700a^{2} - 471231490893264103205150256324a - 215669700614548524903441274872 )x^{28} + (-16937187960834370492539419104a^{2} - 414520592927974104743739711008a + 363937226089917094719261860144 )x^{27} + (-510815662210015103143548132456a^{2} + 188434982086149356588503802616a + 198384969915227677626480981576 )x^{26} + (-56118198858176108473472400032a^{2} + 584974375797368977630509087872a - 31027335014165175573980007680 )x^{25} + (-105030119822295460057636103976a^{2} - 586657353149143257532294363012a - 599258578937427797576725341380 )x^{24} + (-375015709416180954493037351344a^{2} + 633349259347155071084327661040a + 598224530064808712898288881088 )x^{23} + (-563707256127205290340694623000a^{2} - 39074738315510280976041091960a - 57077644334974780926621476480 )x^{22} + (-210199693689701402386248056544a^{2} - 520351447955655115576244164992a + 115652034928057805534576393696 )x^{21} + (-611056874306425649950948055312a^{2} - 232312321048598692882777502752a - 80076509859115065103081627088 )x^{20} + (123890526311843178668314123584a^{2} + 261407597768306375117093111168a + 69517512337556662308661072768 )x^{19} + (-55081432095535460528574886808a^{2} + 13914834247993179954972806992a + 343001606915407309723055300136 )x^{18} + (250448367981639371577386860304a^{2} - 58416427692889254814220852064a - 7907316075359849558276971792 )x^{17} + (275529462662993678515359050808a^{2} + 207136383188477904281632421100a + 69280543973517375192124004584 )x^{16} + (-359256322292876158744841904224a^{2} + 270965710880940823517559366880a - 405806913268309470220400969664 )x^{15} + (67463317748232823178963963672a^{2} - 241696135265534926884333466472a + 346167572599273821918061329464 )x^{14} + (-587164337992131545581305336688a^{2} - 346018052257932530964844363216a + 462205159134456264196940825376 )x^{13} + (-115122766424471087465672441936a^{2} + 321562352751117160695593843680a - 233977324298113050985646065712 )x^{12} + (-31596799334277096953363301056a^{2} + 163668805440009018009017370816a + 560380986437740550918702045056 )x^{11} + (476535438806307641854304526224a^{2} - 66813442619141617096543384440a + 291568555211088172514117149968 )x^{10} + (-44798845295861401528850458064a^{2} - 237013797361343056534188734368a + 585105065838586886281088578528 )x^{9} + (294215351836697928770325922552a^{2} + 605910502451230569812834039516a - 43012143946903688567109750512 )x^{8} + (328440313922639445608407971104a^{2} + 153554743347202168087378004160a - 36827708045435686364195206848 )x^{7} + (-395612225973323842916566860480a^{2} - 547114998537728037258893141808a - 19393858383498082771892830672 )x^{6} + (280606735419613572749045556672a^{2} + 16148129044236122168168644208a + 98651361198014884143556916272 )x^{5} + (-353930809890891598838320329544a^{2} - 356138142501646127680303096536a + 437577831749431711926836884288 )x^{4} + (-4813556229283096502988405632a^{2} + 598276649964670288447321265216a - 59230422239848992897845346912 )x^{3} + (96593825160945828591299987312a^{2} - 608588006742207124735249670976a + 200497304503837072696362014048 )x^{2} + (-403750218090252383221409382240a^{2} - 222085622044947540517993359584a - 102515415104255204561966265920 )x - 530102985339293568283740819664a^{2} + 574988720627048201149626888168a + 329500912983813235043278996644 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary