← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.513132_656914_905854.c

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((-51597045147090571702797399556a^{2} + 257608129139950886610098120128a + 74728117604421003037508641724)\mu_3 + (187499929059638459963569316457a^{2} - 29754547467461684562486851637a - 153769751456918971107302973891))b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 1)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 3)))c + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (3a^{2} - 3)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2)))c + (a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} - 3)\mu_3 + 4a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + (3\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3)))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((-2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((4a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + (a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (-2a^{2} - a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (416757353846939601845405407816a^{2} - 183869166064060462741424556352a + 129177159993556290774479904232 )x^{47} + (212750592328428230504150473996a^{2} - 477145364438373106499112491028a + 590561420760215236133002930064 )x^{46} + (19269686636353141813469965232a^{2} + 29800100483281468225363358144a - 396533987254190651940945586424 )x^{45} + (361057226660250117847206333784a^{2} + 214785035383704747843974768020a + 29704331726763211237665908000 )x^{44} + (222201401420814790998321838736a^{2} + 607913052524328017719144766576a - 127998039577940975968056768928 )x^{43} + (-436112393637573840686395461736a^{2} + 62985881290370359625728976004a - 205301571657039663745161241576 )x^{42} + (443736028783108075495764762256a^{2} + 109736894296279172107190767088a + 321168276196540395828261603392 )x^{41} + (-322163921880861727381624429332a^{2} - 587788467942691127685194672964a + 254693324656518141299852335872 )x^{40} + (91986079196501314579827916192a^{2} - 313935606140353037774662320112a + 21132093915175168878308799696 )x^{39} + (90364962347139050526905709432a^{2} - 309506405076396606472734466944a + 502741459124149763520425517024 )x^{38} + (-383896392137725609363490545984a^{2} + 85982076365839688595160471880a - 340159771769450768920305606088 )x^{37} + (160829038488199622660045992520a^{2} + 308859128617274358341631665380a - 614959752336097413602682022312 )x^{36} + (429712313937517795278587464128a^{2} + 282149628459929391582574096944a + 524473869871175950250227545520 )x^{35} + (362744899887805001167841397376a^{2} - 101779379313901159162819363924a - 133617598107908077580569441784 )x^{34} + (368393532021798027958599983848a^{2} - 47033820311366909002919379552a - 421452943886473794048150781632 )x^{33} + (-631359221449514237949582385456a^{2} - 521080808429561835313741945954a - 613710026980548991574338587352 )x^{32} + (500699304410302091989697371424a^{2} + 480391273531727447354775060000a - 607432519711188026671064755504 )x^{31} + (198752578471331465481439761728a^{2} + 313312465661295050568638475352a + 447910660799785069446114276720 )x^{30} + (-405611620394989066604148596448a^{2} - 338663829895758127826679046632a - 584410100227855753219192709120 )x^{29} + (249537160617494335852556531380a^{2} - 397573613175534733570429131228a - 398501965439130398221339475048 )x^{28} + (-450419805359408318920822111648a^{2} + 540921536355238887080464845920a - 377235550575363789866288264560 )x^{27} + (-398240115356390711702438005632a^{2} + 107655520346343697026412365224a + 502895925564834740898001552304 )x^{26} + (501925027904226282731630204144a^{2} + 205168900363302361831807088304a + 199441918283966005483515800624 )x^{25} + (-323052512269896177951262572384a^{2} - 73058203969174214491892640044a - 189238482837846773795400800812 )x^{24} + (-308854239690093214002164652848a^{2} - 124732106871584243452425995312a + 14469162215132434704282841088 )x^{23} + (-219975531722839948370182776888a^{2} - 405950088454455007738225205240a + 232842939235741689912550853504 )x^{22} + (317745585917085790595933502880a^{2} - 586600824190900030794069628832a - 185805067651785881516699663776 )x^{21} + (412142114360230142292469542960a^{2} + 399451093995546919148854808192a - 417030054556839956971158768256 )x^{20} + (-65608267826409626689929720160a^{2} - 328714082201125390941612199936a - 124924303530082438138489216800 )x^{19} + (-121458390946288107800993798088a^{2} - 250408372241351667059263703664a - 276699387354333520558569620264 )x^{18} + (276623336756685637824690092544a^{2} + 545737661851911614867470928304a + 590231646417515781910820076944 )x^{17} + (526491951162940808911888152840a^{2} - 33674799242082049442283197604a - 598368421850156887321724039448 )x^{16} + (-603336966889308996156435107424a^{2} - 50222147182814286119932145440a - 171943702014121017942465467584 )x^{15} + (191728134613593549154559717016a^{2} + 414682397019107316525841188920a + 490046089926291255595345412472 )x^{14} + (-222879787561805674986485023824a^{2} - 166121533011302599261108436752a + 203406057260138545800064321440 )x^{13} + (-616043679766115394310599441504a^{2} - 86791404897792064270733927392a - 451590712707295275089980285424 )x^{12} + (118379161549018383153238872768a^{2} - 312451626350196614681527523008a + 562081743989899290054682089408 )x^{11} + (-438490389673407649274600253920a^{2} - 491108449412187451966588587432a + 413989788127749152019455955520 )x^{10} + (-130989288139220296388124292400a^{2} + 251310263034114575126075124992a + 85546891566012632160764403328 )x^{9} + (-552164007214283893445681961624a^{2} - 319420660884568706706627528132a - 336775810386715318634387727056 )x^{8} + (23967390263927549732205335328a^{2} + 85933339768310965969319272384a + 238904950690594470272998400320 )x^{7} + (-11450222076868429966386908544a^{2} - 480340801505268131073943888304a + 9003194278068547087221005360 )x^{6} + (-10712214061801346205541416192a^{2} - 16352091861794186086265353456a - 27004074679650719139741106032 )x^{5} + (105301286348336921403535606488a^{2} + 384555856109923795045439634648a + 91002488054802042977845536912 )x^{4} + (371861529591066080113877949056a^{2} - 271324000944780195747910065536a - 155810254021246239702164061536 )x^{3} + (-159602904900608809911229030864a^{2} + 45889429141766400758625390496a - 389865134182090951772288768352 )x^{2} + (-236612852966301089430654055360a^{2} + 63756808766696539203639169664a + 541011065671814437257668165248 )x - 100772661234468126138398220144a^{2} + 620550897163909077145641898968a - 515521177440689384191900444828 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary