← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.513132_656914_905854.b

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((-51597045147090571702797399556a^{2} + 257608129139950886610098120128a + 74728117604421003037508641724)\mu_3 + (187499929059638459963569316457a^{2} - 29754547467461684562486851637a - 153769751456918971107302973891))b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 1)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 3)))c + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (3a^{2} - 3)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2)))c + (a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} - 3)\mu_3 + 4a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + (3\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3)))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((-2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((4a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + (a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (-2a^{2} - a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (416757353846939601845405407816a^{2} - 183869166064060462741424556352a + 129177159993556290774479904232 )x^{47} + (-345328289097959150694862286100a^{2} + 396584842832852258156918234532a - 623337280698891923221176249344 )x^{46} + (545617778154106809299766317024a^{2} + 381444221017181261957454769648a + 482294905583682783483729698984 )x^{45} + (-48324341417997097989175585800a^{2} - 615031137807383115370538591748a - 184501635246804177823341040680 )x^{44} + (-105793487573199865078900884320a^{2} + 454064935913658107013338223056a - 90081326627045232133617424912 )x^{43} + (429094259679253538428469461632a^{2} - 383462424042757295040980068492a - 276631327587242811581737663936 )x^{42} + (66798491912671309430297537560a^{2} - 588219914289516989802667008184a - 228403911282922445531257405712 )x^{41} + (523045564807592790929517027880a^{2} + 364090053221353910365184881492a + 132814968434707629360438445304 )x^{40} + (312773539766250659239773696704a^{2} + 421539503199673921657336204528a + 291375655367545821498157590096 )x^{39} + (206397368466702825500323261968a^{2} - 464577920865885638747787382584a - 90299428004076899926014163280 )x^{38} + (52029000755590167339689125216a^{2} + 513534429698349230483477013880a - 352817421071858404343407495976 )x^{37} + (24207673261954385398071193832a^{2} + 454030853730510473198409969492a + 282508063703532478178370977768 )x^{36} + (-366552726139108178715411552976a^{2} - 10870868749102639259459141968a + 161344249906905356538059583248 )x^{35} + (453280720683646050569213589664a^{2} - 457097624497442515475391960692a + 189902416835494745132562368360 )x^{34} + (617360967860948758338007491064a^{2} - 178382446033274606841547661744a + 79903394709121277428340490640 )x^{33} + (-101828095614094417496408425312a^{2} - 260760100718732833716744802426a + 145002122413208869966250519860 )x^{32} + (474227285588703389408245253568a^{2} - 288957900937198301736911743008a - 440064678302395157784333553232 )x^{31} + (-278769939485229313458484610352a^{2} - 52372510984457525333963096616a - 432107363659815044490212650400 )x^{30} + (82201493844188437318042316032a^{2} - 487177851529413201267516468776a + 616982356341637948265924699904 )x^{29} + (-85493586799503978158941953108a^{2} - 149177119815918722259402714260a - 116607204461785867268905192448 )x^{28} + (624201374313041678497793903264a^{2} + 168445575145926106705464340064a + 443650994242603998771744072112 )x^{27} + (-229580338697803066404367736112a^{2} - 419493753904586720272097819808a + 339693710752506685676244113744 )x^{26} + (6960404285818727173553206512a^{2} + 172805493572796219051550392144a - 28030764175056778317421364512 )x^{25} + (305102152665790455352287087200a^{2} - 33534560583065143319696828116a + 148294858048064209053005466524 )x^{24} + (515840884896568046530696159344a^{2} - 306989447258508201976552952144a - 104173309568719834695045689056 )x^{23} + (545806555157233625831665668920a^{2} + 553354407204537508030145625720a + 366797575789421332086933822576 )x^{22} + (175463737639420720562385176000a^{2} - 628327467705619601934978576768a + 331146178364763153564723101536 )x^{21} + (531595615802714223187757629480a^{2} + 430438462341463020260470222896a - 241482611632295916870495481416 )x^{20} + (-119459673111105957607964320960a^{2} + 273607023590587933771987183392a - 371881355878445135760370424448 )x^{19} + (-174802092140151988855433129688a^{2} + 303516510417861219009366429888a - 120377788410935092673029012664 )x^{18} + (-12958290368658674828789748016a^{2} + 366949244295709806467565505584a - 493650411919833005748136943520 )x^{17} + (536230261909338259426377861648a^{2} - 92672146025387564743958448548a - 292960992721405785201927235688 )x^{16} + (-127860788831282512314243830560a^{2} + 573386568645026810095739170912a + 395830514722707395601757825408 )x^{15} + (585863198516675508828291621080a^{2} + 341284389572795085917035587864a - 475229264258031609031271352296 )x^{14} + (-112379710803170005152075994928a^{2} + 466424998159401189741253279184a + 518134452765445279045252831328 )x^{13} + (-500874728230495438088457829024a^{2} + 451056314149351276795409800288a + 135514195228308848521206758768 )x^{12} + (420878121516035079727887519648a^{2} + 628560954885785767346475586592a + 210547095166678065955793888128 )x^{11} + (486957926629774520676213640544a^{2} - 629247175802778080313644337576a + 481183452509498052724734554480 )x^{10} + (-264398721071209215644637908624a^{2} - 352296873537902846053413209440a + 409085627662923864224066282944 )x^{9} + (-495455235607091477102060508696a^{2} - 188281784742623960652431728436a + 102906163081338158440846505840 )x^{8} + (-301518039016730325988602189024a^{2} + 121174460479155671996688881984a - 266423743304311229845015258688 )x^{7} + (-233426051934140440447750320032a^{2} - 105433458187611121566062041360a - 530258551784553520195592248976 )x^{6} + (538792007143141386748863948800a^{2} + 414296375829588561383121133072a - 375870737308455342855385464848 )x^{5} + (-560808909201978740660558849176a^{2} - 552354876520042011780572409096a - 574318400519259473391191022192 )x^{4} + (-536340032653547061328915812224a^{2} - 380535437796916623917433683840a - 288003014545762884067371470432 )x^{3} + (242517973520208570968458367696a^{2} - 563414487701865755386302255776a + 245759048150197999424582458080 )x^{2} + (414281080270838682706736669216a^{2} - 33633669556296009088919531456a + 396834994663392951111602800928 )x - 438107372621644725318161513968a^{2} + 73535210702918273296633593880a - 111554384542019185470106641308 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary