← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.513132_656914_905854.a

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((-51597045147090571702797399556a^{2} + 257608129139950886610098120128a + 74728117604421003037508641724)\mu_3 + (187499929059638459963569316457a^{2} - 29754547467461684562486851637a - 153769751456918971107302973891))b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 1)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 3)))c + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (3a^{2} - 3)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2)))c + (a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} - 3)\mu_3 + 4a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + (3\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3)))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((-2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((4a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + (a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (-2a^{2} - a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (416757353846939601845405407816a^{2} - 183869166064060462741424556352a + 129177159993556290774479904232 )x^{47} + (-377143275089371786150204774212a^{2} - 330392629930299968160894568604a + 594520670183129908386957299320 )x^{46} + (404069473309686203735536188672a^{2} - 120115550303453556793164297408a - 528400970622748505579652003368 )x^{45} + (-240402001234380628035057594496a^{2} - 336253159175392787729535473356a + 494062906602581111423490606296 )x^{44} + (459021492731028305977194144976a^{2} + 194869620222059062512561893152a + 344783205418371364982360184064 )x^{43} + (494032532276253210561248791416a^{2} - 110807722798261567439088212412a + 179739119743465096328197540896 )x^{42} + (-76262290750954488327108547264a^{2} + 120236242888978220110607496728a + 372225920362464751839244677264 )x^{41} + (501857110111609186891461450864a^{2} - 115270203662563015564540834204a - 9898145068869273834810304736 )x^{40} + (541485027469788718641551031584a^{2} - 604000582188125336238563195728a - 89196024404477785758079962704 )x^{39} + (217440949795943430086994557040a^{2} + 246297976771506024866109087128a + 484470448685784612935791901720 )x^{38} + (-536627620518940335958188336752a^{2} - 492372001329820229237807354296a - 630545042547046782965251290744 )x^{37} + (629164709304560021510576147608a^{2} - 67456422274554138202466948772a + 558893121713355207232108091616 )x^{36} + (-113500055183270805723246354320a^{2} - 186351107264639884626206354992a - 155885122909046961846833355632 )x^{35} + (-296094488611189734635755794552a^{2} - 551811098038574696169305479748a - 495563017112826339823394786264 )x^{34} + (447028385518362264699691063512a^{2} - 342651516287076292022211012320a - 177111175570350033293132459744 )x^{33} + (-234549205330074062945304193616a^{2} + 544103412835008111609426098090a - 282859342796083978747780120064 )x^{32} + (-163874725562490202125863011296a^{2} + 323977414193306287816468092896a + 286968662043560915192020789616 )x^{31} + (-502888145667890458224473762880a^{2} + 575808155980478947223183988344a - 516249803552506962457731783696 )x^{30} + (-466100405022311004259275392192a^{2} - 354992584804080368018296695560a + 508999178441129014958928204736 )x^{29} + (421082368399428092877042079716a^{2} + 19286576361980115080809041876a + 124538692580616324973633547552 )x^{28} + (132450676704607398895382937888a^{2} + 121547046036538405143337505888a + 303587091997551240609691423056 )x^{27} + (-491368841483909743772739405848a^{2} + 333733083326074413058016451632a + 355346825092654426676856620408 )x^{26} + (-43531414120717982555159650816a^{2} + 77607985888394983252821012576a + 612166835127486157419842788752 )x^{25} + (-299073086891567952325407144504a^{2} + 449346719712183464790533995348a + 6920519767784716772925010756 )x^{24} + (188389431373741201772913355312a^{2} - 486421404426449424863606264624a + 387089935191951880396204619488 )x^{23} + (151352263063494242275614439928a^{2} - 218336241920165535497165477960a - 341179216988514840282486432688 )x^{22} + (108104963978218341134942637760a^{2} + 17216722879163722222884092960a + 358961547554369707444149827936 )x^{21} + (495118081078498669185577468872a^{2} - 116941964126736250907876477232a + 611069161046833704647549634376 )x^{20} + (222718737566919002378585576864a^{2} - 506438307800017857984202999520a + 497560349188578632558520522208 )x^{19} + (180994787296217444104506485720a^{2} + 278085333593671290827436078944a + 304165849904492025099463247128 )x^{18} + (-145895160765212477999691943200a^{2} + 4723592895737740506484929504a - 319741118042793592241182811904 )x^{17} + (83879459349352512576693390208a^{2} - 626343077027377292429927231076a - 593629875927446160102882719784 )x^{16} + (-185482425168025069087316022816a^{2} - 427519142796443228917396025888a - 574716067972950301513732119424 )x^{15} + (-293015505850552865056809977640a^{2} - 580008577118975057214578491592a + 332384638955977410901646683480 )x^{14} + (119903993452210441936850890800a^{2} + 367361329152521721693462995472a - 522068322887282288078814337248 )x^{13} + (274215641875961250132021607248a^{2} - 352905790146613249323705422400a - 342629796876612795683896542704 )x^{12} + (-413081405969792343550950919136a^{2} - 576883768110118993140892663392a + 459439178595107694080926955072 )x^{11} + (-80690404006090806656080211888a^{2} + 487305512201672554443479550344a - 421851033080534881959146406560 )x^{10} + (60070037893267597343304695248a^{2} - 609445650824040849743800078080a - 250269450759657594327821269600 )x^{9} + (-198176980749477938561780297032a^{2} - 547179411534252981900147283092a - 124768224820450731874650038608 )x^{8} + (230609270637040888976035894432a^{2} - 46673599014629936657826166720a + 330503466777420923866159720128 )x^{7} + (85332542379637779700209395936a^{2} + 61328565046857998527724183472a - 108706500124805066689705161360 )x^{6} + (348739352689904766903849764224a^{2} + 244720560221952714070108050864a + 166799680151979112415732954576 )x^{5} + (125871160934502550783962401064a^{2} - 128333902576586631752773029752a + 177666786227040991146444673472 )x^{4} + (143533133600165887836314986624a^{2} + 199103103324453812630080597056a + 152771672141787481534139002016 )x^{3} + (-123815861085832883987299837136a^{2} - 152227655675925626988642630656a + 208582257762639383462739562080 )x^{2} + (605725663363017367471400159616a^{2} + 220963286954677076022367263584a - 301845616167883960058322707168 )x + 238470768061487102925367168240a^{2} - 359764415941141923045612340408a - 126867363951318525739019376220 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary