← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.512690_551642_1030248.p

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((-295968719212374801650614984713a^{2} - 293069287739385274967995909550a + 214682436221333928788672608478)\mu_3 + (277522873902664330110225455556a^{2} - 34057568769942799801501858110a - 293396678906608585913231425097))b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + ((-3a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + \mu_3 - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} - a + 2)\mu_3 - a^{2} - 3a + 1))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + (3a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2)))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1)))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-3a^{2} + a + 4)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (-a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (169406423854751602341380819456a^{2} - 361549672000714031086380758352a - 607376473212922345557603255952 )x^{47} + (128927644968035767246202084780a^{2} + 358959954513376167706957110104a + 620991978168314678444466463072 )x^{46} + (402853302627266450205073276056a^{2} - 388986011785286964915479084960a - 469876304279762486503678113216 )x^{45} + (100042139298640915549687719076a^{2} + 236600239757683699333462336848a - 475692706356644824185656581424 )x^{44} + (-542726855076497977070359331104a^{2} + 444540555856773637519427062928a - 176627999668013324407051703536 )x^{43} + (471380784337702210668044987228a^{2} + 286231127934999473238690898936a - 24177287565229422585713410376 )x^{42} + (106780007336458505030148016376a^{2} - 468316989061155092148285434328a + 595257916744609376859992298016 )x^{41} + (565074820170154092860684069356a^{2} + 364934394404097873548091178040a - 516981937413582387021874437652 )x^{40} + (294385970069657168926689856704a^{2} + 297014916224128455358878056240a + 75643115343650809442568949936 )x^{39} + (426721392580811405597292708320a^{2} + 377707769775024699630298992848a + 504161039305534757419461432832 )x^{38} + (248442633970786699196600497448a^{2} + 578022368633010891970388156928a + 149497819953982015828772271288 )x^{37} + (-182983002467854456143171287512a^{2} + 302917435923079453037598303812a + 229191868564667231523728578360 )x^{36} + (-382077850270258004339285595248a^{2} + 622822050999063795705891999200a + 229714431572291716931050187008 )x^{35} + (100165273981994239981372919664a^{2} + 362481187577983249679171350444a + 12590221129319236998013009972 )x^{34} + (427696069717901992365514943808a^{2} - 176621365350513075426909151456a - 370913488572833178418381311840 )x^{33} + (-318618829235838114845067722770a^{2} + 108108716910849192444505854434a + 270353942996230024219014334240 )x^{32} + (-438167923073267430566933907936a^{2} + 405956651703137618435125861568a - 292539696953738477114521297456 )x^{31} + (289861415561055162871144641520a^{2} - 514612764285191882458668932600a - 547730059694967493645750930752 )x^{30} + (3549643592211540826367711736a^{2} + 196146917191923368778222604928a + 162705047304907558497937961168 )x^{29} + (-120320744938850496806896161012a^{2} - 469343016122942428537025979024a - 303255430825552998929033581752 )x^{28} + (-617521553464065253899792613728a^{2} - 361178812431750722061718841088a - 442116131712439502207754308224 )x^{27} + (96646263753941993880200695616a^{2} + 611124003224217699431841827008a - 292007554457144999926197848624 )x^{26} + (113682228241581434110894656224a^{2} - 474672496124795645028212690432a + 459194759363034325848941732032 )x^{25} + (411676188470837262962616235220a^{2} - 222832599647291809104014485536a - 377856513657347763235504244612 )x^{24} + (388956655395323040750121745056a^{2} + 182490236660637271076462953904a + 415925775871120787660984736608 )x^{23} + (283195501764640246982642887464a^{2} + 325104360108884514806337960480a + 494177203628078873423625169744 )x^{22} + (-314488363152305507091328457840a^{2} - 312621044076876197742430887152a - 595246170375452608681123931296 )x^{21} + (154490004216434123670328242856a^{2} - 485660853569884784649319292832a - 398644564073912222741928510376 )x^{20} + (-7582766910822074321448589024a^{2} - 103755823122325965194655603040a - 114548579265642147997697335840 )x^{19} + (-178597523954947781876639599584a^{2} - 258541731301947725250953722400a + 541021949396420460584837997944 )x^{18} + (-607849393920355423649719806832a^{2} - 557666936757099911638278412208a + 381376668538337900508872652752 )x^{17} + (524255915421433541065473249868a^{2} - 6507316936308662478509468712a - 595023601161006853600611160540 )x^{16} + (526741795174404143738938845600a^{2} + 248679114350059482211867511456a - 562227031334689865363039783296 )x^{15} + (-80289083641937088013413539736a^{2} - 313224625664974825856782945752a - 421936223714443253337206561352 )x^{14} + (332022073540515039623630277424a^{2} - 144640130561281998451488050800a - 45522229676736413145424240112 )x^{13} + (-463159925726248800455342401896a^{2} + 581611182155690347337269364640a + 589722307148618337231596180056 )x^{12} + (41306595996648656405382243424a^{2} + 305090823366824253872889075520a - 179719695334960090665966725984 )x^{11} + (192964515000208411556055388176a^{2} + 143570385623930078203643253464a + 606459413540460794680892127576 )x^{10} + (181485428348178907419840698880a^{2} - 363782832351299601512507932896a + 108123300629069193636908077440 )x^{9} + (-537724964006055336206903679060a^{2} + 55500669148358765833737455604a + 295286852139570922531682193296 )x^{8} + (164872463390067833435812137152a^{2} + 242490218281367711981518218784a + 529493441455583595775770975424 )x^{7} + (59690750564020077358528092208a^{2} - 285484065612329642844218936848a - 341899087327626697128813992656 )x^{6} + (-217534403520909552404117087520a^{2} + 6272908944970064176169999616a - 70910574384041612948298849792 )x^{5} + (561863497135791554074427718664a^{2} + 513375413000479930915605774624a - 97979975695097559722390078176 )x^{4} + (-52898337503633004329506971072a^{2} - 445504115812014018043224098944a - 82511821222147590744339886464 )x^{3} + (608468400029646197452176433040a^{2} + 301330555875130907177806869584a - 581969646505542639832385303600 )x^{2} + (-97067831421450324829355834848a^{2} + 591780232477418661253020471520a + 466971850046005206818768303808 )x - 555624679561231825897828265880a^{2} + 378492438575904924495961273120a - 278343338384956835640685292844 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary