← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.512690_551642_1030248.o

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((-295968719212374801650614984713a^{2} - 293069287739385274967995909550a + 214682436221333928788672608478)\mu_3 + (277522873902664330110225455556a^{2} - 34057568769942799801501858110a - 293396678906608585913231425097))b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + ((-3a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + \mu_3 - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} - a + 2)\mu_3 - a^{2} - 3a + 1))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + (3a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2)))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1)))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-3a^{2} + a + 4)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (-a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (169406423854751602341380819456a^{2} - 361549672000714031086380758352a - 607376473212922345557603255952 )x^{47} + (476674561831215686884148443460a^{2} - 627397688545749614890775676768a + 200300552020346308392432907816 )x^{46} + (-93446317397018823008792275416a^{2} + 39360193783074693277885510112a + 508948129869579713012965339344 )x^{45} + (-196862759367895285459470302204a^{2} + 144629437737033080565480797248a + 83191539210656356828851622312 )x^{44} + (456720991088251813131290305312a^{2} - 267252810304685158536674106800a - 231821137228111832834105589952 )x^{43} + (-500854188278342052742888402892a^{2} + 496243185309001164034456758760a - 230033891720179159116464585728 )x^{42} + (-97620831932392039362036029096a^{2} + 221706727021458444586027785584a + 326225991544100349771146331192 )x^{41} + (-551318033323538728231778790028a^{2} + 235126612511709079362510124172a + 366886119469998926445298077676 )x^{40} + (615767402944136401539459210272a^{2} - 396955016885681913271465743216a - 553187281485335469092157747536 )x^{39} + (-15145192447889029592994502912a^{2} - 256191042662609078055492906752a - 502829578489790836424264741384 )x^{38} + (48247915062517625074989170040a^{2} - 492954094435781721610289778448a - 403934644598512851595613193064 )x^{37} + (196618567151856111734446438320a^{2} + 26856330736677424420433723028a - 52631174407584143420091733000 )x^{36} + (131587651940138685688026229200a^{2} + 447814078886493342980287789408a - 631360157238767402693110176048 )x^{35} + (337803921071969747553074614376a^{2} + 22366912130522669678817386316a + 409673193782346506445920824036 )x^{34} + (-33166537662956204165637026208a^{2} - 54481973482273931720774686624a - 319899379847364238615820329424 )x^{33} + (-594651917692527572790260382814a^{2} - 503585488237858925686857738446a - 588320193680772686158783575148 )x^{32} + (-554721647724202842987005058208a^{2} + 521578932321014969034416895936a + 552542402131052932297517947152 )x^{31} + (-280598675897215540181925254768a^{2} - 385722885882351354583284729064a - 542854059220526855419903293120 )x^{30} + (2511641609868616922160347832a^{2} - 488213055929416742578551652288a - 479962182129447154784177419728 )x^{29} + (205101251323562339070214485572a^{2} - 449192198549709276312173681488a + 173764892068066555910065902800 )x^{28} + (-380234678884738062955474025088a^{2} - 147670909909492660069028572608a - 195043766536118363531875740192 )x^{27} + (345231345111830254109176893816a^{2} + 185213989028857908046742116432a + 135037298487349070466096503496 )x^{26} + (193854657097803820703927674032a^{2} - 283452693424963874000977434208a + 136249488534733359182904792816 )x^{25} + (409959886090838693092421928164a^{2} + 389247333090911533663630230728a - 224772548156999308342070558188 )x^{24} + (287406458538759343367640771616a^{2} + 626820899278929295056549852080a + 375639491652561629622151942944 )x^{23} + (-304844253232046217868618884392a^{2} + 344543253495669398645535790000a - 283573579260072745222332508992 )x^{22} + (422397706117973830996569683696a^{2} - 171154096364412845598836325424a + 464687421837287109409539594272 )x^{21} + (601861660607118893757712067432a^{2} - 345372038417460121514082294568a - 304976687370206909258396322416 )x^{20} + (-368184777867757605885056927584a^{2} + 329803811011775905269530397728a - 70869921794749571526145547616 )x^{19} + (-481894835539644072056506237152a^{2} + 561470937804631435556187746384a - 59716748272713777188724784872 )x^{18} + (273477407662697739961420089584a^{2} - 536233803291561518521933652784a + 412364810031276214338736691696 )x^{17} + (-414201340584121431681923645652a^{2} - 439825331540820665590165980448a + 269500675132931699413609069908 )x^{16} + (574744096631906280246063767456a^{2} - 242630098098087539538835415584a - 13407232975909808285700820032 )x^{15} + (430749564123649267905464616a^{2} - 473977049459379347412691511448a + 362674528670565764102880051608 )x^{14} + (85646038901329192724715763568a^{2} + 395062944946054646375222611216a + 520313339573645178527433851792 )x^{13} + (-44574737823038010126818171128a^{2} + 46936371321574636009950883664a + 413589672312620682543896805480 )x^{12} + (588308324458321153295330194656a^{2} + 188816287682056257861480357056a - 561253752664574264650569599776 )x^{11} + (-300696780211978668088545812848a^{2} - 176999336605890956393626268376a + 376459732870952638158717343112 )x^{10} + (-632681137946740176036022201760a^{2} - 388550241081297415909973228768a - 95582799721734736376711480160 )x^{9} + (337484979682756347868385911772a^{2} - 237582443038946932745827211596a + 319679595465138298344715307056 )x^{8} + (-478285649630400826649878680704a^{2} - 597522196102231837427402206560a + 82203769104170849343045345088 )x^{7} + (-303122868665385790314238151600a^{2} + 357955785206933237887798989520a + 473060606993445054131140894832 )x^{6} + (230203192378313802506581741888a^{2} - 24879516353983465443547852000a + 597712036460672741340841979008 )x^{5} + (509025120011667780283594569448a^{2} - 28925083948948501143649085680a + 279474518055866967432968803568 )x^{4} + (-619722082661263759274787845504a^{2} + 547161933869970346028025715200a - 405708586891858676991900066496 )x^{3} + (458088273720499185500769619280a^{2} - 337419923480495720450819640048a + 434751664623493552899643867568 )x^{2} + (291306454549307382298029098208a^{2} - 164371910159082488901078893536a + 521606292069518250743975509536 )x + 152003027248372292794026129208a^{2} + 368850556677108266449165773024a + 461437423477184102977554670500 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary