← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.512690_551642_1030248.n

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((-295968719212374801650614984713a^{2} - 293069287739385274967995909550a + 214682436221333928788672608478)\mu_3 + (277522873902664330110225455556a^{2} - 34057568769942799801501858110a - 293396678906608585913231425097))b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + ((-3a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + \mu_3 - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} - a + 2)\mu_3 - a^{2} - 3a + 1))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + (3a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2)))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1)))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-3a^{2} + a + 4)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (-a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (169406423854751602341380819456a^{2} - 361549672000714031086380758352a - 607376473212922345557603255952 )x^{47} + (89218160680363435624227292780a^{2} - 345846260144477329110310387184a + 265794185621192811225164530432 )x^{46} + (598550205356325865951357765032a^{2} - 632240113407068469074121926464a - 480972114372112647420481877440 )x^{45} + (633765084837960415141530747628a^{2} - 185620572280557204296002450840a - 605729765410783467075061249992 )x^{44} + (559687018338001496572877502544a^{2} + 271391707851222316403313065872a + 296882072481468122631533836432 )x^{43} + (-509499422949162016831536949148a^{2} + 439582623798066956836658349360a + 73246185681048847255339477680 )x^{42} + (-77967547507957115298747851104a^{2} - 198594929108076138232967955800a - 627761559283687008951748908096 )x^{41} + (86364011703989357597968767120a^{2} - 65944032837889149791128280604a - 577539943724807902752010684288 )x^{40} + (-334453870764897743869447848768a^{2} + 168228727374825759561221390640a + 168814668263048469179845212496 )x^{39} + (338398008401947245214502392104a^{2} - 137885012479866743022070852408a + 181499707121275363526269965096 )x^{38} + (-373699140580435443855805240040a^{2} + 372717509423611776443302302512a + 564484869951858821743653151896 )x^{37} + (-151371841508019196807198818456a^{2} + 570353408737286026869960390196a - 312056090888632259190741430720 )x^{36} + (-455696145248727703286126736832a^{2} - 352592399210080272774107518608a - 235612936375325020985954925408 )x^{35} + (-462262259810114338803840977976a^{2} - 233480330294655334463051332268a + 451510903275619779871925985244 )x^{34} + (28506761880063170440654356336a^{2} - 240956874412946491659392300864a + 575261861357219347912471144816 )x^{33} + (122748547032822016476485930402a^{2} - 72003610572099129606093523074a + 316259950625696118911962196344 )x^{32} + (448401726869204127982573816544a^{2} + 113466746587800085618449619904a - 34985127414224817902197985584 )x^{31} + (-20648386387425963996292528672a^{2} + 421109201184800082457027497896a + 30138861311637268472704779056 )x^{30} + (-33560903546353614304334445224a^{2} + 389175461918139615229450809696a + 53756230070837945450676137584 )x^{29} + (-273842391051080273890575333100a^{2} + 396278923019786669179737978688a - 195084009733867518039253189096 )x^{28} + (-438789569432033826206071962976a^{2} - 329852181316674674367010962752a + 3504195425663022062061426624 )x^{27} + (338784294161234208152373797288a^{2} + 145123474421727177626418694840a + 16740445069850017497771479992 )x^{26} + (434567124937144487571058337552a^{2} + 434014766439967694147000810672a - 236352650549962537214066877328 )x^{25} + (-411255017051612446356690548052a^{2} + 612547943330025545874086490944a - 145804835803120580231359131036 )x^{24} + (184468258179412195925768392224a^{2} + 279896524661140861616586839216a - 454192884678659299918302314656 )x^{23} + (267930917312278527204812489464a^{2} + 375759868607045247528153095616a + 189659452973322399904458395712 )x^{22} + (159819033963051361227887383856a^{2} - 391399265619648962244119852336a - 288222627474712667611549919360 )x^{21} + (-229033767677894004505508625912a^{2} + 575407913885985400531943310928a - 490797115199034911759963725856 )x^{20} + (-82261448870210554251738287616a^{2} - 280433914066160517216977313120a - 478358535036986371241582320896 )x^{19} + (-282348621161331428085111848720a^{2} + 305645352295960380208087047856a + 449164829447045307582721303128 )x^{18} + (-13534621639061111000512668176a^{2} - 313351411788916524908770684912a + 351508349466369488669394203792 )x^{17} + (-287252083661463962936250152748a^{2} - 177093120162880818557732072656a - 510689455937608634866471412644 )x^{16} + (-548980096965608560547622657056a^{2} + 377216115025226962621489711968a + 376036046215306560179224038464 )x^{15} + (345901687023307156230345403336a^{2} - 124991111096527968142936280024a + 491950879782800763825343161848 )x^{14} + (524046300255772053597057552432a^{2} + 176010789564991215191849103728a - 329848689573871119189861746064 )x^{13} + (392250957985579275264392506440a^{2} - 126889682977761245221606954768a - 536714763099677016765089586600 )x^{12} + (-632997611950648352916739193952a^{2} - 184025863032253852769783105024a - 23307965416543496702776420768 )x^{11} + (413448729620833420070395578336a^{2} + 573493310746613211964415590488a - 16443363310181856789436658248 )x^{10} + (517383964400557541546304825440a^{2} - 181320608005482837476853153728a - 8104526815820888486942578336 )x^{9} + (-537867046326650655063891398628a^{2} - 131263605672773208615276563804a - 160827232338543209246583167536 )x^{8} + (-424964431184098557849557153728a^{2} - 189408995812037526113554226528a - 606884074258209526710101862016 )x^{7} + (-630429889915279260435327080880a^{2} - 390760809709634886536168865296a + 555857949602969017012762644400 )x^{6} + (-149949833170152100322360649024a^{2} - 400945965915139180583857045760a - 28258426374316873393553833792 )x^{5} + (-574986577604033109051767202872a^{2} + 330813410966582468805165386560a - 143484931659797546404544084960 )x^{4} + (-620656716973971122588323856000a^{2} - 11061162722921289685762634560a + 529896230524128039718348664448 )x^{3} + (-294738469307954175613529119408a^{2} - 230203173317848052491865055472a + 126440690636430614487686898800 )x^{2} + (633007846855625886180513338304a^{2} - 291181815805877865982097109216a - 297211707682780714140308426656 )x + 631242333769903412926684321160a^{2} - 118154970184639079088074125776a + 131402774673653711958478305172 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary