← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.512690_551642_1030248.m

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((-295968719212374801650614984713a^{2} - 293069287739385274967995909550a + 214682436221333928788672608478)\mu_3 + (277522873902664330110225455556a^{2} - 34057568769942799801501858110a - 293396678906608585913231425097))b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + ((-3a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + \mu_3 - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} - a + 2)\mu_3 - a^{2} - 3a + 1))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + (3a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2)))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1)))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-3a^{2} + a + 4)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (-a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (169406423854751602341380819456a^{2} - 361549672000714031086380758352a - 607376473212922345557603255952 )x^{47} + (-176738394343066365011732534940a^{2} + 532910455173007590250466678568a - 213442663561336887162311675528 )x^{46} + (524985834022378185155355818520a^{2} - 376940513473786273827638753184a + 270732857019299504627381703376 )x^{45} + (214610736493162261656878007036a^{2} - 118943049594197330804748767352a + 236167844429657331872924212720 )x^{44} + (-214108628756240544945434471888a^{2} - 370846518665425344222235112432a + 554637236106451402525725423936 )x^{43} + (215024459309430433393055538764a^{2} - 79291253219041427877175964992a - 268409269386112324492280892088 )x^{42} + (336909018219487711730161021328a^{2} - 560461916895176574874357446640a + 613824717002172491459205042888 )x^{41} + (320895930973961305177177832384a^{2} - 210310903386483020454875601272a - 610939869194560094465270768672 )x^{40} + (-326431517113665240574146013664a^{2} + 12940194608085210622126436176a - 56908545541336793775465948080 )x^{39} + (-254779548477190355228376017352a^{2} + 508975256791679319730166115640a + 538234760312087796763763691056 )x^{38} + (508776655753518414485863113928a^{2} - 292998107913252655775620436768a + 358385730238026254583417967576 )x^{37} + (-118670136446122037680813682240a^{2} - 367444111026539157762882843532a + 307532108177699677617188926464 )x^{36} + (-518956705790412650925394691648a^{2} + 302293624862197447305205958192a - 29947915701892431928728123568 )x^{35} + (-283611110335573961873515115648a^{2} - 507229772115394525403416142956a - 383411855518104640591765902004 )x^{34} + (-295773214983933829392017668272a^{2} + 562277235070738701226850636288a + 54667854235171164196952217824 )x^{33} + (-230593616438413905647554263954a^{2} + 612948995097688903296672969366a + 131852852723081556856296989900 )x^{32} + (313032219339686587746795496544a^{2} - 175185252495183120913116305408a + 243536899372027114964488194960 )x^{31} + (53714953533812100684690104704a^{2} - 468759660534880662187208522792a + 80589656393296173178118269936 )x^{30} + (-15310387583382314680156834024a^{2} + 484481719876955121084628494880a - 321531537746360181447463119792 )x^{29} + (134642160063316330387848144188a^{2} - 340901755313815444371174039280a + 520209185461782100476649432832 )x^{28} + (-565494010196105427044255960640a^{2} - 121694310248059740943938468416a - 184331220464162863842963345184 )x^{27} + (-361222305484357173500931748144a^{2} + 409821650606131194115107212328a + 549479124137125701923587410352 )x^{26} + (497136816962711788316390858464a^{2} + 54359312582468198810045755376a + 229514822192982358176229904160 )x^{25} + (-294262221732159526817054786900a^{2} + 507778578096443438201800984952a + 567851683062344638673154271116 )x^{24} + (201212943358670506921696638624a^{2} + 386924013529405193392745339312a + 610066232945826701421003289888 )x^{23} + (-274512478104779709734131584248a^{2} + 442087322666618205891627488848a + 117217562883441749729652866704 )x^{22} + (142420930325646918528437799440a^{2} - 23891030797267737713580974128a - 223082139179613528058325947008 )x^{21} + (-578718552129799637102140055896a^{2} + 252125401175901470617421581752a + 614728147710342262898894695208 )x^{20} + (382009882910921331902069830144a^{2} - 159565858824758647278922752480a + 336132048421608341188386902912 )x^{19} + (-108578227966030056303901017552a^{2} + 628651027699524499902467224128a + 301823693066831346419533400952 )x^{18} + (279820875037489734939150270896a^{2} - 31966887754319394052438650864a + 343848321782376978748259998992 )x^{17} + (535966269728761117349719755396a^{2} - 598439202097770478421450896056a + 455589631490590372455391598428 )x^{16} + (-552302101814942302403803245600a^{2} - 288215293044380067068756487648a - 160637385640825751754891905280 )x^{15} + (-496904959113947243851942167160a^{2} - 184230478150002023548535759128a + 381800475584945947552446900312 )x^{14} + (410971563425077798889878442288a^{2} + 25909270226163101028899593328a - 97517740654876025569269047952 )x^{13} + (-381571297465808572622830813448a^{2} + 306067603669177894642327938848a - 424130151443555975781389884472 )x^{12} + (-118169288832851415044011315680a^{2} - 369513478130507463315588572160a + 108328504883910144517633998496 )x^{11} + (-94124990919183646295721641184a^{2} - 145196008875834356824878800184a + 275051131589909501650109319624 )x^{10} + (-392329588927466799529825621632a^{2} + 194973954234323588152959407936a - 182870726876116559485712704896 )x^{9} + (-393908886007408899379260699860a^{2} + 365669110184189811561982405508a + 305451641264279264670281301104 )x^{8} + (311786655125476674451892989696a^{2} + 403025948034179306211913016864a + 175991807756581559037871312896 )x^{7} + (95132619057732598943834906736a^{2} + 356523311657150348099683560208a + 71649467003222532497379625712 )x^{6} + (-219775455447485360592919810400a^{2} - 94320381671723251838233405344a - 557708250150580409772451260288 )x^{5} + (-497863598227416831620587371736a^{2} + 97707482350489860131631988080a - 162580860223901515924393039600 )x^{4} + (-450408413364449129125106771904a^{2} - 532049354970398773482294801216a - 560783907272568974356200061376 )x^{3} + (-305035126432270454915712601488a^{2} + 379712072455660143871793084112a + 96303416650747741732198406544 )x^{2} + (-622560205884720551255860681472a^{2} + 563638993967755728275760091168a - 493913237017498734303234570816 )x - 240280354603889011883404514984a^{2} + 95137686789234225468430006608a + 472031702101616095319986417252 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary