← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.512690_551642_1030248.l

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((-295968719212374801650614984713a^{2} - 293069287739385274967995909550a + 214682436221333928788672608478)\mu_3 + (277522873902664330110225455556a^{2} - 34057568769942799801501858110a - 293396678906608585913231425097))b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + ((-3a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + \mu_3 - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} - a + 2)\mu_3 - a^{2} - 3a + 1))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + (3a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2)))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1)))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-3a^{2} + a + 4)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (-a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (168538172272558252422709618968a^{2} - 377655066719353729509438007640a - 605057837034786932749748715312 )x^{47} + (-379469675959706661391108110304a^{2} - 390149185212839009595836632072a - 189342527387536252111754576168 )x^{46} + (-459139519472646866128171498360a^{2} - 331791261273111690086231355656a + 562460083938810953662178188240 )x^{45} + (-248041512289165463117239452352a^{2} - 6085454054448537412843117928a - 527734928943544641369905847904 )x^{44} + (-451585361023519072683582370656a^{2} - 121411848232604015667643265872a + 115599765298722364779732618616 )x^{43} + (-146999021943712053694223426160a^{2} + 24381999786161793994301936696a + 588097511074296892749847906864 )x^{42} + (-202652895397537594708386465920a^{2} - 22027247129098669629611025936a + 477027175283375009310038791960 )x^{41} + (-34516560915168758107783626600a^{2} + 47456011284652340576671845196a - 474028186097129135576228691048 )x^{40} + (522901455667683156091247378240a^{2} - 50147108856079420284054526640a - 198482522346184881458507123824 )x^{39} + (563254997398094251254425108000a^{2} + 602277359701133676037054906632a + 276819662939025630274971370604 )x^{38} + (179497718651207600169120526568a^{2} - 136461770200236190197985144744a - 519210132097320810401548154416 )x^{37} + (-194724843444767992427184490268a^{2} - 33863374934085223848809646320a + 605002454972320758266270780496 )x^{36} + (290602961257193615491124159744a^{2} + 117428268900017671330043497008a - 587080893652198837813876239952 )x^{35} + (-540242202835500785098788421608a^{2} - 478720400888925552022300587004a - 451295518646408938793974218420 )x^{34} + (311448802831421384946588519312a^{2} - 583614178293526942797584584688a + 384606861487903439141288188512 )x^{33} + (-360571948751932723556695032508a^{2} + 441582520289092820817296989646a - 527785064419242585502666933918 )x^{32} + (-524020290050483585881950893504a^{2} - 327824089083464335815366283328a - 495751989765379621030169010240 )x^{31} + (519114344110227558068656619632a^{2} - 215280646504883248587343055288a + 483857084143345634324652674184 )x^{30} + (319142450712872502470475709856a^{2} + 592092495406567952548741157896a - 71410212822275123002548767336 )x^{29} + (-84768306309583127822414746900a^{2} + 346997558790117560649595063680a - 242579040879526136189464242212 )x^{28} + (-453868752593837891769843606928a^{2} + 198560900070351846117664102368a + 79683447958554099169261410208 )x^{27} + (432228755310608584509573699800a^{2} + 340491092432924082283198580040a + 511594640243054599526672432456 )x^{26} + (-107906177636285732176823673896a^{2} - 367040862676803653408306706080a + 345595892051864422001430660840 )x^{25} + (517910111210369305202037969440a^{2} - 291808750909851574928598798972a - 80053132599479385752605634832 )x^{24} + (249257300052251697406864288864a^{2} + 127000245672695245701988708288a - 563493510233575307879517774048 )x^{23} + (-520829007436143811453031181680a^{2} - 393197750517609500005108398288a - 416911391400761576893562152704 )x^{22} + (366083546413758966684099632496a^{2} + 359101528475730149531781851104a + 578336508778298999239521098912 )x^{21} + (-145205974205534830251702842912a^{2} - 298170511821175900367263547264a + 296929760044790279887395005376 )x^{20} + (-46507948830049094895907741584a^{2} + 178731355484511649945845432160a - 82362676260777699320734197344 )x^{19} + (497009492015274227899709032296a^{2} + 185551103895712000506789194520a - 76541939380444241710366477512 )x^{18} + (-66410077164467337054722078704a^{2} + 390156538687763007552447474672a + 102215963954353130478591320672 )x^{17} + (-15753120998833169788349016004a^{2} - 315909859168851315360412393492a - 475501784777502341817756574760 )x^{16} + (-390714556086939986294092537824a^{2} - 173355104599497040833111478752a + 53402634203300571875135723616 )x^{15} + (-141775281493631449052440660144a^{2} + 111124504380627716083399967808a - 545295340009680868354175316384 )x^{14} + (-544017329763336632155018924368a^{2} - 86084571727841106539715794624a + 50614315350011777301457489072 )x^{13} + (301266938847868399946231862680a^{2} + 544994988666736396484860610240a + 4719092313605978695237782096 )x^{12} + (349666734191877812470491354400a^{2} + 371003369890418870006282155200a + 565013516543059478867836389024 )x^{11} + (616146473932147168821530192536a^{2} - 87197849141522152175624857832a - 562745886060127686576197597432 )x^{10} + (-433614870528921828414243661056a^{2} + 589929757537226881945795591472a + 345797215247027712013874360640 )x^{9} + (414787476795444822729095740012a^{2} - 290754203968257277480195614940a - 531213971478116346022018482644 )x^{8} + (-376960028260382053997225408320a^{2} - 605754329786109859255292890112a - 474872896968433663114230575168 )x^{7} + (103445136160037137377318714576a^{2} - 592510410317182212538139651984a - 572395198528162451536354594416 )x^{6} + (-77401907972337500748076024064a^{2} - 570363128107224913380174947648a + 552199607462178095464035840928 )x^{5} + (565872773758360462035095823184a^{2} + 312265344932812985773671529304a + 226256743725362463566250292144 )x^{4} + (265512431433131856442500879104a^{2} - 440542991430327186141004181056a - 293336865857105386170143716928 )x^{3} + (350086573802953310055230060608a^{2} - 4102870780424447585439125056a + 465086227125943269623644544224 )x^{2} + (499677959740923725568524580448a^{2} + 108562430218830909821657716208a + 438963213755046887844311835104 )x + 451328176456678401782189445588a^{2} + 504380224676921944740837945420a - 353709165395413294953860616584 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary