← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.512690_551642_1030248.k

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((-295968719212374801650614984713a^{2} - 293069287739385274967995909550a + 214682436221333928788672608478)\mu_3 + (277522873902664330110225455556a^{2} - 34057568769942799801501858110a - 293396678906608585913231425097))b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + ((-3a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + \mu_3 - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} - a + 2)\mu_3 - a^{2} - 3a + 1))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + (3a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2)))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1)))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-3a^{2} + a + 4)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (-a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (168538172272558252422709618968a^{2} - 377655066719353729509438007640a - 605057837034786932749748715312 )x^{47} + (374371153318624144041209574520a^{2} - 15918126042227111868076883920a - 544539307732992932021371752952 )x^{46} + (-462133405524762530055294919096a^{2} + 223389167261883985828553448040a + 363317808571445922461101495056 )x^{45} + (-554661846101168874819530901040a^{2} - 584707379666801455355093875648a + 414359955127698133140645223624 )x^{44} + (32822989850174193395059596112a^{2} + 333141110654659002352989703456a - 258992770970213686306970764264 )x^{43} + (511223952137638108248983518448a^{2} - 130378986158170554491910420448a + 584998718166652638445789781160 )x^{42} + (-345860260690407906879406398256a^{2} - 260421387884494418973200866008a - 32196972459682059132660704880 )x^{41} + (-555465368767890974114176641732a^{2} + 336553665753948930087279117256a - 308109158269517608030887098904 )x^{40} + (475219553846285197155918141920a^{2} + 88038221405326142570671483120a - 417547423630105938336924155216 )x^{39} + (180820030141751569124914212448a^{2} - 114176737887966064513465258312a + 280291807450361928699003110988 )x^{38} + (376047113293469530204373070168a^{2} + 562274973346182200571425464600a + 175228514976919199475483788816 )x^{37} + (-90552261841073359604488104692a^{2} - 36511141850376324070672186376a - 565708481240873254105905654408 )x^{36} + (505829736536381698774061694816a^{2} - 138878850217279013246707912080a - 596448374335071421972497145104 )x^{35} + (-181893751044181475595753684208a^{2} - 563139150487053780574901680500a + 66665753350482873253186956484 )x^{34} + (-105323822289166155426270208240a^{2} - 218734862167892072130348135200a + 69851331506671511704063687888 )x^{33} + (-206727995171638165246085401320a^{2} - 609862729831296323768302915054a + 283159274797516454780330739566 )x^{32} + (259384090030902132049205935392a^{2} + 64863712244721999933071579744a - 563855092258896041970834488096 )x^{31} + (-562467387004528876719187968576a^{2} - 589675338086790829589664728424a + 600445615047960042035684249480 )x^{30} + (-155669994476629902330982223968a^{2} + 623649493302885919402804890760a - 314454956348692891783068861928 )x^{29} + (-151876086666913647469367177660a^{2} + 252764885362896284593361285600a + 501153602483842916242257207204 )x^{28} + (300585182485536456235698708592a^{2} - 27995673187909091521279201568a + 101817587929193378820271388736 )x^{27} + (6254295874114894826647556248a^{2} + 493629350739201072236303780984a + 240927640612517663955049187480 )x^{26} + (243827185084036912091559787864a^{2} + 143183042771867508510939155872a + 30781011995112470424246707240 )x^{25} + (-369892131553587413723045193112a^{2} + 48098389608152746993824898988a - 332139713903820838608053708040 )x^{24} + (74456735429948955308327324896a^{2} - 347586815723255896578548745120a + 374176169412611782473194156320 )x^{23} + (517781123853515710681528594608a^{2} + 251644929369268911573611135776a + 226837885892940088013448058336 )x^{22} + (-615924719226249396213579155824a^{2} + 626429095037386204601477440288a - 548145391061086652643805957792 )x^{21} + (3621929062307358646562505264a^{2} - 287735196898445427183991187224a + 346329822321568143497342124488 )x^{20} + (62276416327833485206277815088a^{2} - 631238772268357623941553785728a - 316626460775125117022314831104 )x^{19} + (120168851663204135456655032440a^{2} - 208747979739534762353433156792a - 363139801577281310088836122936 )x^{18} + (-78619788178633615063008970000a^{2} + 518828046910308849146771042160a - 229016892965285803974457821184 )x^{17} + (372911851174844795719150387764a^{2} + 385331867237795030398502109772a + 157855251943050936369034940768 )x^{16} + (-379417824610821742061728251488a^{2} + 389401053985195828778788650656a - 432551532723791304060101875872 )x^{15} + (126806758915810951761836315216a^{2} - 170057635930249179285517216384a - 533497491567472020730978650752 )x^{14} + (262335930756708445016538162128a^{2} + 580448527465732749582832478624a + 128068093806211997194339222960 )x^{13} + (-579249098416680813351467929896a^{2} - 119852609380568396879506517744a - 6970117750908524745961256480 )x^{12} + (447615058795035630054146927808a^{2} - 460426517382944314673554122560a + 267702545010375281159031536704 )x^{11} + (-200061399465604942373306524008a^{2} - 51374880419071558826487554600a - 619173824096455962829164947352 )x^{10} + (418064973758033205864775428096a^{2} + 481957550529768065958869085488a - 69257514052916790218355326816 )x^{9} + (-514722213723742702426779353524a^{2} + 481116931531522803274242182660a - 546220523363963838877328125044 )x^{8} + (-156285495603046634567518646720a^{2} + 489584677917962773975681865024a + 469292433954239819930318317120 )x^{7} + (-619825288490573269338822917648a^{2} + 561728714867637963166604584208a - 35218615272703905894051952848 )x^{6} + (-61703030968678697742329614144a^{2} - 142438245204528816453547552128a + 136947799888077553412799752256 )x^{5} + (-398218599072433566042300312496a^{2} + 439788143483853922852838221656a - 444048232721906967648696313088 )x^{4} + (422220552475629421137472427200a^{2} + 357346546907117328542303900864a + 617568550402434031008549855616 )x^{3} + (56363817598829031682199988016a^{2} - 536350272812058100263036904464a - 125396503725896921082280833952 )x^{2} + (224829339101381302691348619680a^{2} + 177127283800088249162821071056a - 370804530522646082521570769792 )x - 162177871411749998696997283628a^{2} + 165515936048666515475105138204a + 102144982999382279468368839272 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary