← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.512690_551642_1030248.j

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((-295968719212374801650614984713a^{2} - 293069287739385274967995909550a + 214682436221333928788672608478)\mu_3 + (277522873902664330110225455556a^{2} - 34057568769942799801501858110a - 293396678906608585913231425097))b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + ((-3a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + \mu_3 - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} - a + 2)\mu_3 - a^{2} - 3a + 1))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + (3a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2)))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1)))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-3a^{2} + a + 4)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (-a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (168538172272558252422709618968a^{2} - 377655066719353729509438007640a - 605057837034786932749748715312 )x^{47} + (-283016715559579855350047380480a^{2} - 145582488857298483991948552424a + 536077143803638314951650128176 )x^{46} + (-168349892117050789388823164168a^{2} - 167690301774179314366953329848a - 581734790360984516647925131824 )x^{45} + (-164787806939183083189587534512a^{2} + 415699245306848023771930535312a + 460726952899793849252373797664 )x^{44} + (225827865661633639636105111776a^{2} + 141760784258010088426832218064a + 436143837642419795323239863624 )x^{43} + (459024150786809693905397378376a^{2} + 595009877149563657028172399320a + 484958134713442946827886388608 )x^{42} + (369439000538479710206812197640a^{2} - 100010015566106101214072808992a - 88626284996889501813938529656 )x^{41} + (-406335866581583115958060578464a^{2} + 336976061658860973191038570056a - 84276460397643345173365182760 )x^{40} + (-321811531290976826867394318528a^{2} + 520590025619001561685175614512a - 373700640284048594983412267184 )x^{39} + (368728017795581317299606406768a^{2} + 514037176486049106869537625112a + 349678004200267666715789383340 )x^{38} + (27263046449281399226957132440a^{2} - 105737633251335909991793016680a - 508274405630339491129492082672 )x^{37} + (-383479816910125031977504184004a^{2} + 564202088784604786018211477624a + 110325038230116987998637561272 )x^{36} + (91166129184535581757009035104a^{2} - 624070077188857748320418281616a + 595054576429952063262255683984 )x^{35} + (-206396721903403129745441863496a^{2} - 579426600370092300901422432004a + 64707302839066917464757759572 )x^{34} + (-223966055083867395174613615696a^{2} + 306187392773767496112598445920a - 84489143791306270232702881584 )x^{33} + (-615762889088899786312817734836a^{2} - 254976835933632618582831964614a + 283436996368604881234151121558 )x^{32} + (-557067338188467132511928353696a^{2} - 132065428845259288570342773056a + 70235351867662335052186133984 )x^{31} + (73784675550442954275163735504a^{2} - 161820327680051329867009483560a - 377533500229305963049091674456 )x^{30} + (-496032191427798973243023876320a^{2} + 40012177533484499616379467752a + 51751762206649226599549881400 )x^{29} + (-502681796798575792164856293804a^{2} + 127706789770692409362574926792a - 455231071325315050635575883580 )x^{28} + (128733186389751937238939472080a^{2} + 171390980739852613750984235040a + 55857126157891867477985469760 )x^{27} + (-245846499047779511602020964488a^{2} - 350535407663382216974217353400a + 341793641054165604563037177768 )x^{26} + (15578389514424203542567190104a^{2} - 84741621692948939817322056192a - 462431558346219613396088556120 )x^{25} + (-287437568220865991943169096704a^{2} - 157227028816790245221555758452a - 594403723500610337400766541584 )x^{24} + (189587234439357481764091001344a^{2} - 107425588813551048469769088768a - 99806862621223457834814672832 )x^{23} + (-227034755812285160626212100656a^{2} + 609595780059063886207696776704a - 86170457187172499497081226560 )x^{22} + (218607852929809242827307400656a^{2} + 590769402370337063389380630528a + 337264586223573308479334696640 )x^{21} + (190813523092441448813261375408a^{2} + 444619426785499302311595438144a + 114563751407404124919010843784 )x^{20} + (-11709786893060473925585870352a^{2} + 327006517445463090070948440992a - 136423326283559207228433393312 )x^{19} + (269399623622703419636121021144a^{2} - 529906699070402391175384263000a - 304896450872387527619120860968 )x^{18} + (-21475918947289666924877703664a^{2} - 521365998743917654469591333168a - 23746164020559074742157994528 )x^{17} + (-93079099223542972552773114884a^{2} - 387174908403953555864840893564a + 619749988169995933833954925360 )x^{16} + (-359897903983752106281157631712a^{2} - 40658081570634666616894616032a - 495363379862704422603091901280 )x^{15} + (2898005165990942971322181232a^{2} - 602254230948443909292565727104a - 158143027520194761735509178240 )x^{14} + (-137351255902237595881720578704a^{2} - 186138984878370320467775074336a - 199386896189110135229659382736 )x^{13} + (-604327318959472728466292201016a^{2} - 107123545508844027913149368464a - 376032181391458274244390038784 )x^{12} + (522849249878197759631784860960a^{2} + 629243606636368432689332714848a + 449693265011650247236152551360 )x^{11} + (216994663380012075164965052472a^{2} + 537080994158423853570376960504a + 484903944481965622642509973768 )x^{10} + (-46609447438088415298378377216a^{2} - 249797358766314610315600339120a + 69175301598738420269671196992 )x^{9} + (294738149670630367126904997180a^{2} - 134738057886131212048721979948a + 402208476848398953905898268556 )x^{8} + (63228259725358182150915950912a^{2} - 151083221147010782156410603520a - 135072724613632579232320822016 )x^{7} + (448603224268593046559322694864a^{2} + 201041221021327926386524495024a + 599316833821944357558017405424 )x^{6} + (-219152697930565918035855559904a^{2} + 32892526810681032959016157984a - 538424378155370257186288223104 )x^{5} + (121348627725410866555941504592a^{2} + 594665097463291599198246359112a + 175168379118263394582967998688 )x^{4} + (462072645236388050628074859904a^{2} - 604941915331259107570881208192a + 542740933203525015599022251136 )x^{3} + (-418746291703827083794770365664a^{2} + 548971426904545364509720026064a - 156431142622131062226761623472 )x^{2} + (-187421446278637431547179228576a^{2} - 226601931557992673730092138224a - 282660782907159381375939925408 )x + 610795069861770607435588816260a^{2} - 304338580532479470942516133732a - 91275701738868485972166387512 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary