← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.512690_551642_1030248.i

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((-295968719212374801650614984713a^{2} - 293069287739385274967995909550a + 214682436221333928788672608478)\mu_3 + (277522873902664330110225455556a^{2} - 34057568769942799801501858110a - 293396678906608585913231425097))b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + ((-3a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + \mu_3 - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} - a + 2)\mu_3 - a^{2} - 3a + 1))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + (3a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2)))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1)))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-3a^{2} + a + 4)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (-a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (168538172272558252422709618968a^{2} - 377655066719353729509438007640a - 605057837034786932749748715312 )x^{47} + (-53238861552221394760968615704a^{2} + 271193231033266585773824282192a - 81126869083404731474777728320 )x^{46} + (-153676699066840911751355958056a^{2} - 295018386768847512628647314440a + 604179131220632406723895968944 )x^{45} + (-290257638563556079464733132832a^{2} - 447429045850854868794992635272a + 527760474914457771629800262616 )x^{44} + (595182339850262433583747063856a^{2} + 86835523579369150434284709632a + 101969429420569779769476750248 )x^{43} + (-487876534185552345132436224152a^{2} + 329010061406741578609031193328a + 297986912862519343928186774120 )x^{42} + (-258016569342554849637521311672a^{2} - 368593636972312725268379962152a - 362449050322820927934077027504 )x^{41} + (-259152395600906885752893565908a^{2} + 549154795930874674058106330876a - 304249037132365423280331825920 )x^{40} + (-520147405077545815862194714784a^{2} - 475811170680603087988376352752a + 509948403608472397807365950640 )x^{39} + (12777209207581869821121024848a^{2} - 170500215444938971674979887896a + 428049026623894581670333611884 )x^{38} + (-110254552479538948736127672920a^{2} - 529563454632133883133568878888a - 9433768271885323068586720592 )x^{37} + (216053025033084491217568514532a^{2} + 145362663090397188623536813552a - 446058038430893493496627479984 )x^{36} + (-81287840128879522757823185760a^{2} + 620570706501859530574155669680a + 243746079068542348282353089648 )x^{35} + (-107617471483675708787209764544a^{2} - 390125729879047440491816059900a + 611269447639099966541046111612 )x^{34} + (354487374850185096665748299440a^{2} - 154270192314706832845964521488a + 407774653696145424745223124768 )x^{33} + (-608184153840140188675431431328a^{2} - 568056241981846131016200965194a - 89995513080370406602981449238 )x^{32} + (383376241237125379590433116032a^{2} + 431900733418386073227469044448a - 281763646624111822728575544192 )x^{31} + (570384461452596499393664497440a^{2} - 512680225339526056476215360984a + 377031097065844449926607438280 )x^{30} + (309944380048836248276106486752a^{2} - 584891254039283550761416530264a - 125464779510506076101474162824 )x^{29} + (-86556277119171778794390716932a^{2} + 168311722716660758072682258152a + 44807233316885485442306501388 )x^{28} + (-118413157942487785882877028720a^{2} - 364021347921800379850331690656a - 370191675507647828829450889120 )x^{27} + (-112696883169844332731274764776a^{2} + 372672234479693057994824922040a - 145608769126926255705415121864 )x^{26} + (-155499823050883619717385607272a^{2} + 181346015018426896938941036224a - 263207396665581791145767335800 )x^{25} + (-347969022410856818924093954072a^{2} - 116610625877558053969520731564a - 450597627446619370100491956120 )x^{24} + (562941005417386669718332534848a^{2} + 499097729335421554463628711840a - 231627206489571932974708492672 )x^{23} + (-80098794730839149625149504656a^{2} + 320627316425473277316770474320a + 466900457357629041158040205408 )x^{22} + (20189455535765226090293570928a^{2} + 273640745099298692046498129792a + 202652750542749299717131670528 )x^{21} + (156789802077142804394348662432a^{2} + 336031123666713987344428187640a + 345586240599705048928165363456 )x^{20} + (571512507408784612496576302256a^{2} - 194974158733223434553078767168a - 15389251552496796560993822208 )x^{19} + (-465364180835121409040375637112a^{2} + 197600293032761874952331909208a - 385751947297919945049126284568 )x^{18} + (-271801204176236864840484851344a^{2} - 518319295245144831664365260112a + 219020627900789736989033703744 )x^{17} + (-153870873933567680462928675884a^{2} + 416689497601966300911881759060a + 570984273963792042434877943176 )x^{16} + (-219852532369715694782610154720a^{2} - 368048004462501199425603287392a + 584402112157045364985536503968 )x^{15} + (5985822824467522563449397680a^{2} - 284788248022147995268968060736a - 571539728400996669820891410528 )x^{14} + (65971552125523286211226849680a^{2} + 467787697627524048531031911872a + 343389351764106249095415808304 )x^{13} + (-624752347408441472599011634968a^{2} - 117326064624938606803470889504a - 613853039683933485895019755504 )x^{12} + (-80040730833608853206801072896a^{2} + 252306823692484446982375747424a - 68720040033396375538641567072 )x^{11} + (16684632404240563784112956888a^{2} + 275681652646955061051521063128a - 244972569683911620127886816888 )x^{10} + (12664193712358735109420993984a^{2} + 464235061105567854286789548048a - 160784542794317178081736548704 )x^{9} + (183085349527740830424451033308a^{2} - 334590237049499436157000919788a - 346561743351677252602363043636 )x^{8} + (-582688342547011484646785173184a^{2} - 435960159156812261320583744192a - 575654292412403287832875840768 )x^{7} + (-512616495685596845846324354192a^{2} + 504567425899418009606838660944a - 148470846410107698884837377584 )x^{6} + (89160399712663462210014459168a^{2} + 338089232291938060279671336288a - 326315404845249294262240890784 )x^{5} + (171750788779913939905334738960a^{2} + 147154947962310284046763454056a + 258963472725397793212256849264 )x^{4} + (28460019360652037203924843840a^{2} + 583303964507011825275462646272a - 170258410150687695558497065536 )x^{3} + (251356610701343051590204295696a^{2} + 507044885251904143967258564864a + 413245285380295011830778535216 )x^{2} + (-111681502212780201938710251872a^{2} - 269542287775187361529535047056a + 384666981090918874832776340480 )x + 87764926558238879117389068772a^{2} - 538151383411523405448372030068a + 253722236102863983772753697816 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary