← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.512690_551642_1030248.h

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((-295968719212374801650614984713a^{2} - 293069287739385274967995909550a + 214682436221333928788672608478)\mu_3 + (277522873902664330110225455556a^{2} - 34057568769942799801501858110a - 293396678906608585913231425097))b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + ((-3a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + \mu_3 - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} - a + 2)\mu_3 - a^{2} - 3a + 1))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + (3a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2)))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1)))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-3a^{2} + a + 4)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (-a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (169406423854751602341380819456a^{2} - 361549672000714031086380758352a - 607376473212922345557603255952 )x^{47} + (549935386617234473836787456780a^{2} - 451959031004615540197767505792a - 183444137916663815599981061352 )x^{46} + (-139552457940814646445300237240a^{2} + 246323667656513168792959348880a - 179714809010199762901134891744 )x^{45} + (-325651174566066318507100101908a^{2} - 195671401644854806186812988568a + 333828323564051086658651344608 )x^{44} + (-2580895769148254077130225040a^{2} - 213439042555874177727224072272a + 212405553095608485599131353360 )x^{43} + (473683817294502278442076848692a^{2} - 422563006865279161938550030952a + 310795364770686674391738185144 )x^{42} + (-503888558507411736520602300384a^{2} + 626299695866542888755882098408a - 199145458169024269878893459944 )x^{41} + (410897848479121038614182506860a^{2} - 14346543144896584477517966644a - 238834054214867444769534079060 )x^{40} + (-190908506064229551838706085984a^{2} + 272870223780221809387143229264a + 589689534258774938069250424592 )x^{39} + (56699869416475546155714800648a^{2} - 418329420464646523108169763808a + 545504968506452979146308671736 )x^{38} + (420496935872559712325339655848a^{2} + 605441710982250412684994475696a + 410961304690682991671465306840 )x^{37} + (437829556952689900376356436960a^{2} + 133820237882365221675870174868a + 462199768757278194305320439504 )x^{36} + (478861142442690238866362991760a^{2} + 174490564826411547110407270592a - 104967522400803844803712205520 )x^{35} + (312058236926435421206388840976a^{2} + 303558666517882472821965707348a + 493260844082333248339841889612 )x^{34} + (-114552108132310464383324513952a^{2} - 264244904714421740206644292144a - 140546767364110548022758688400 )x^{33} + (-283882444499259024351394289238a^{2} - 446446058825594706856744163202a - 479684347243964682411286436324 )x^{32} + (491700123684555494776917862688a^{2} + 64559174916431479222520160768a + 95180298613953808950005932432 )x^{31} + (171485645999330180863549908848a^{2} - 197302165134781972173154928408a + 62456500677233794196192999792 )x^{30} + (145461647132424405845833703224a^{2} - 220100562136306281826117357504a + 207934398923638676921253193360 )x^{29} + (-568635690681573761644007173820a^{2} + 485116378777534821366190434840a + 628277311472962806121375473016 )x^{28} + (445024738631295716145338339584a^{2} - 482543333649076274563863147680a + 599166235117283205934367245152 )x^{27} + (254518685850148629882028434760a^{2} + 208346025286438116751903544704a + 445839050805928690183757354112 )x^{26} + (494461107616873769895430483440a^{2} + 490676867782987721672472901184a + 505818312820771304983012030368 )x^{25} + (-341965211093548420622637192676a^{2} - 400115162658291984638237067648a - 213860497441922422014142392124 )x^{24} + (-433954938596034910864063698208a^{2} - 419467782811292037363710532752a + 18488812661144911725752624672 )x^{23} + (445106840361680470941312882280a^{2} + 341145130895491902314052180832a - 113148524129457124202394192736 )x^{22} + (-511475606244270369148686972912a^{2} - 317961283394576456208983343408a + 389867285877838814535669648864 )x^{21} + (-158108298683523784827181742184a^{2} - 182770983087183912271662472168a + 424001992688249489849613981696 )x^{20} + (215811028248649789302853763520a^{2} + 483933916339388647855883180416a - 390448293271871282371091007712 )x^{19} + (472182546090547152711689235760a^{2} + 296619386446033446661074645952a + 141775333705994010658860153912 )x^{18} + (-143542283687516705948022116752a^{2} - 451397964292146509596083599152a - 297126804495256946146382880880 )x^{17} + (622589703563068626848474415548a^{2} - 114091439712671316681564106960a - 600989713500308044246109732316 )x^{16} + (-222066018840617940137990262624a^{2} - 343195625368314450796951934816a + 281653063521041871177640622720 )x^{15} + (-32264735805065735947410767128a^{2} + 426205470729368822846981473864a + 204094833668548559499186297080 )x^{14} + (12706234853744908701533795920a^{2} - 376740674735759143437839428976a + 151702394530847334995815315856 )x^{13} + (454858490213644228501265998440a^{2} - 617178628869607322443375749216a - 591101761725817031726730619752 )x^{12} + (-9719981297447046434189705952a^{2} + 413382640859110186278476795776a + 625657575275736205719014907552 )x^{11} + (-305587598035561919844282274400a^{2} - 591129477981479849152397435784a + 92496123748572407151687113768 )x^{10} + (578907070304634572043217210528a^{2} - 71589322494132247233908834336a - 574162205772490374239020624384 )x^{9} + (553247120254519952135866313196a^{2} + 424382509377665512575864076308a - 498731774455348502044118799632 )x^{8} + (-525290289682259109269950274240a^{2} - 164260266815009237067055314720a - 370752434878079758298483215808 )x^{7} + (-254205867353433904371176454352a^{2} - 291052822872361990799987742160a + 56577273306234335027939030672 )x^{6} + (510336646131822944253986888864a^{2} - 245376939277533368399116813408a + 24677550321424078240987477152 )x^{5} + (222377290135562846022203731864a^{2} + 106783702559407532873839324064a - 438357076339600215271369335824 )x^{4} + (-352403856347975757081553422272a^{2} + 246872034251307362736867936320a + 357640016516485612775688595776 )x^{3} + (-39293706110838029780814923024a^{2} - 513374567697480798309216192048a + 416432705089792712048493787440 )x^{2} + (-40742624745451810852690024928a^{2} + 233338018180311062187325326720a + 149152408942650230092615631264 )x + 446097774579515777437761027064a^{2} - 397172175322787446697915193984a - 605778584560450767901375470316 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary