← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.512690_551642_1030248.g

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((-295968719212374801650614984713a^{2} - 293069287739385274967995909550a + 214682436221333928788672608478)\mu_3 + (277522873902664330110225455556a^{2} - 34057568769942799801501858110a - 293396678906608585913231425097))b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + ((-3a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + \mu_3 - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} - a + 2)\mu_3 - a^{2} - 3a + 1))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + (3a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2)))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1)))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-3a^{2} + a + 4)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (-a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (169406423854751602341380819456a^{2} - 361549672000714031086380758352a - 607376473212922345557603255952 )x^{47} + (-506864717425011119069793168220a^{2} + 184425642113017665053871885992a + 523031017124867418236439070464 )x^{46} + (-357942422856319016114043709672a^{2} - 283739231241473328545973861040a + 15772650592329257642729874224 )x^{45} + (-626322950150449532458064614676a^{2} - 334416320395661678384203431992a - 47272248434575497168769413944 )x^{44} + (143785853137074028529965358544a^{2} + 554333215612262462708315822448a - 459336231605696177688168716640 )x^{43} + (498492737419667928484739614092a^{2} + 103461634138841511092439960168a - 480456877597883412854698892208 )x^{42} + (96520451464660377371747551616a^{2} + 446301140010439333715355836960a - 16913546313085669544950635472 )x^{41} + (592843904886369711274822483116a^{2} - 481662185129977612900609291784a - 467989613704242186128619796612 )x^{40} + (-234562127815020849159593337152a^{2} + 523891074259699760866906911984a + 157765827226602026614314064784 )x^{39} + (116107165396374062141790273960a^{2} - 199270762955551270464406237792a + 310578236937230965319639243968 )x^{38} + (-53438401131266375987792529416a^{2} - 426280146308465797592253775552a + 145190652356155548082148495128 )x^{37} + (251425865876653437001281757896a^{2} + 494286162584635864038056378084a - 613509379582079662637588804576 )x^{36} + (-108743547520669586329736484080a^{2} - 169487931044025528210263857152a + 519392682871851055617436858656 )x^{35} + (299191400900772311372221005992a^{2} - 440735024727223826370042360828a - 205802280733608262450182118308 )x^{34} + (-477584077020698759382083879488a^{2} + 192197511458925222938160335536a - 622942717526401142919743686048 )x^{33} + (537434103234619156356645869998a^{2} - 224088219713720077371110263866a - 340578572803197264782409269384 )x^{32} + (-415078811970965117612185637536a^{2} - 234970184212202935678883617152a + 83595798655563178104770162448 )x^{31} + (164169423687921304098171586256a^{2} - 404960869264310324129867417960a + 497132988871112098977316626768 )x^{30} + (419607911319539473579212893624a^{2} - 56040145208662769188853167040a - 334958656762489368705020151888 )x^{29} + (563382513739141763909519509116a^{2} - 161975407448008710806250898984a + 171527147971926772656817117408 )x^{28} + (9414776186424252332517785952a^{2} - 545124329553411111495659469280a + 282254631182181935321987993984 )x^{27} + (105852703492124569872525635056a^{2} + 340384706328968640672335861504a - 528151320752754712457854210472 )x^{26} + (-498302957569714832017999285280a^{2} + 330680282248247045483202289376a + 543570809369242361677361396848 )x^{25} + (183820482999225520836096770684a^{2} - 506001530097539860116172092584a - 462396074965966313580687321572 )x^{24} + (-187660366026352772174999807136a^{2} - 141298000633659722207444256144a - 110804456931492951588581311776 )x^{23} + (-294370571817832485624876085320a^{2} + 23798443255895470011679686352a + 29161667143064487768524687152 )x^{22} + (-174192884851882141574676639760a^{2} + 210447479682239883843742804368a - 274241027203265479878903048992 )x^{21} + (115851257297958545068353050040a^{2} + 400681403249113639979530829152a - 263139777727428964412780505752 )x^{20} + (448473399212541446221938172288a^{2} - 468440169394892703767447458304a - 447726124230338341702159672672 )x^{19} + (42457281136450977213477519024a^{2} - 145880192334507483096685003472a - 565760516672181995618326803336 )x^{18} + (-611321443875412923886367738064a^{2} + 188157398004652744671873671056a - 473696848352981491191365713872 )x^{17} + (-416271031144548353515325370820a^{2} - 195045277992655784278429652296a + 64323207762922924406143944740 )x^{16} + (-144743996832730667502497807584a^{2} - 298949950106102222698359307936a + 460097132721237283721019823040 )x^{15} + (29082849144583888151395539560a^{2} - 387202655779030248805311180728a - 550381539680473122144997952360 )x^{14} + (-322049846595454701565951473584a^{2} - 238875992019366559125447846320a - 496686543755509877797848883952 )x^{13} + (417169283844135916258796124024a^{2} + 610632568740372518916947828272a + 348291692701896818896120865352 )x^{12} + (198241191509606185566678547360a^{2} - 608880219687022613372557968256a + 500095770398875469042813544032 )x^{11} + (525655669774483575165177543104a^{2} + 216575271431658909501402643656a + 267992182809236707969584896024 )x^{10} + (633766962022215803408023629568a^{2} - 261273162347817863226459120160a + 268252282870696409028895107744 )x^{9} + (52332200379618593536805731644a^{2} + 604160257585089659754567587252a + 269311162990031400939833141456 )x^{8} + (-65082408274021949432248331264a^{2} + 560824380547522995355507221216a + 617902475528625854768294175168 )x^{7} + (-510482010794631387752071458928a^{2} - 54620324507685200969149320880a + 278621890881103309704893002640 )x^{6} + (-518569273430720607536480266368a^{2} + 459181785907860401859534579776a + 265162962991650112202334506848 )x^{5} + (80004587425306497331079409880a^{2} - 6708417092319396721454590160a - 384978026197199228530617559168 )x^{4} + (254113974590595036736220287488a^{2} + 466463417117507974451296103488a + 25702366594855873871833156608 )x^{3} + (295041058192723067626256001232a^{2} - 444944060501088219251652758096a - 456940487718903851015316162064 )x^{2} + (-389349911520825727743884825120a^{2} + 488357558790512822324934437696a - 550182695603162700035948299328 )x + 557524107309477506192353651976a^{2} + 28518518941948010397624513088a - 477358495410509844650918940 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary