← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.512690_551642_1030248.f

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((-295968719212374801650614984713a^{2} - 293069287739385274967995909550a + 214682436221333928788672608478)\mu_3 + (277522873902664330110225455556a^{2} - 34057568769942799801501858110a - 293396678906608585913231425097))b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + ((-3a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + \mu_3 - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} - a + 2)\mu_3 - a^{2} - 3a + 1))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + (3a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2)))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1)))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-3a^{2} + a + 4)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (-a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (169406423854751602341380819456a^{2} - 361549672000714031086380758352a - 607376473212922345557603255952 )x^{47} + (-629692311402006237769965955124a^{2} + 444705090157276532344551223832a - 77336671746866816473297939640 )x^{46} + (-382917773166971335598199908712a^{2} + 109931584310485392935073595728a + 219893499384311294549161894624 )x^{45} + (-225902323063473703825569842444a^{2} - 83751348293814577177652563424a + 108577009990115617291833140552 )x^{44} + (-64289865794394975668927884768a^{2} - 602477885578846835123090051504a + 458484861035044287548635718192 )x^{43} + (521409993423250539954114063372a^{2} - 455008556066476015764068172176a - 266082833416728221180549550704 )x^{42} + (-50291094182996608100805646056a^{2} - 225826337533494602160157236968a - 190535167546557984015175616808 )x^{41} + (522056431749199443093446264240a^{2} + 430120600767725089826638514312a + 355536020414490635138494115480 )x^{40} + (518912136998867407209637872352a^{2} + 462263853557359913800183319824a - 568263041566814267831510461520 )x^{39} + (604193796673719070374734658592a^{2} - 309204209497460135946832512744a + 428767859219701453080791892128 )x^{38} + (231254438583778575681200582584a^{2} + 300081104728968993731616227712a - 460713642236429291829505886952 )x^{37} + (271391447756918145269813480736a^{2} - 414245316484825451240388758588a - 212305327320206973559899670920 )x^{36} + (-110944078134359546593607501120a^{2} + 355641708291553772167073959056a + 432713138005876574611428001648 )x^{35} + (531456343356787633829250981608a^{2} + 632934450162335698756463417004a + 506654823397628238997379809604 )x^{34} + (596401668781012390532972323952a^{2} + 33182704569219079947027275664a + 65299076021298846892769010176 )x^{33} + (-451150987325382247667592771610a^{2} + 520230142455467286940697318386a - 582051332471096756120822059108 )x^{32} + (-428905851500858843208725021664a^{2} - 245320938585836037949317781888a + 383408031336579318792368701072 )x^{31} + (-595996722086961956798417513600a^{2} + 78759674272451133867218085288a + 246026769114166348974052931232 )x^{30} + (-12214197028830861887224827624a^{2} + 39063234120930868785162521952a + 203409562842626885525228049328 )x^{29} + (-414544564665180496307108178164a^{2} + 450106526438187882660627652984a + 100591201866983497361593719176 )x^{28} + (175765661299688925242610486912a^{2} - 511141492706725332205492147104a - 130464698070839678876310954144 )x^{27} + (-466008005955688920780940317296a^{2} - 148186780794998796718819943848a - 427789924808199953601736142440 )x^{26} + (35216032149011864381557904384a^{2} + 15098974672247459674486060912a - 213602095950982073661063146608 )x^{25} + (111162864240487677286319727924a^{2} + 106508478763126597890261246304a - 525595826796001252847113522564 )x^{24} + (168659340292987143350936924512a^{2} + 66389228698564265281413255664a + 25093872197296239328983117856 )x^{23} + (156024137419855117801067539928a^{2} - 369242705630128490317761863808a + 436932183527858654285670190096 )x^{22} + (-49301590036462213084523615824a^{2} - 180713980531862249490346817008a - 104169964346593351150902658432 )x^{21} + (15911298843400338893113413368a^{2} - 152706899318339702673803905192a - 321565187183416195074267649896 )x^{20} + (391490879450417743960136316576a^{2} + 330015722961946529485806825792a + 109424828537622146817429143360 )x^{19} + (-268457791952530410701391297792a^{2} + 546910276802594712996051331504a + 152000661198446008246655461144 )x^{18} + (157466385361634561007473556464a^{2} - 548381297659413575527264526608a + 4069383406558262499821695760 )x^{17} + (-380438461569100615000629575628a^{2} - 159566545638577258360443773384a - 373672838410850732918384828036 )x^{16} + (-449015951830177848472460197792a^{2} - 123347149477821132398262304544a + 435871459505071506577550993856 )x^{15} + (-407625185766783202265027180856a^{2} - 37096707932596309980626960120a - 3129060656132094384998651656 )x^{14} + (-221725782796639696206282717104a^{2} + 141508256736493713403106469744a - 611160475426984885643855544208 )x^{13} + (556479684205847276314536876856a^{2} + 574278991352654762968376222160a + 510949602506299405738884336376 )x^{12} + (-451596016660743460306253450400a^{2} - 278913492155134597106057697984a - 203965978204493688299544852000 )x^{11} + (-424153940347059016215022985968a^{2} + 81159844952004617268197393336a + 546747988298107476592180015688 )x^{10} + (-533063086212369197502816724608a^{2} - 16969391744020005091425973696a + 199360993651423321983479607136 )x^{9} + (-517887352196950985745732872132a^{2} + 462132379810000609747472874724a + 24737835623372509118377307216 )x^{8} + (-89525731753204010045037199296a^{2} - 27516290641372779720146432288a + 126921889460091702695684390016 )x^{7} + (-253686568371145248976868187632a^{2} + 321319663947774613406380535216a + 334375878594363750739671149712 )x^{6} + (-172767456803265898034873760320a^{2} - 553039688426630808881391009760a + 273948469122912849800966627744 )x^{5} + (-147412591205175486332373969160a^{2} - 486989149268831112348826877952a - 180054576853222799437221653904 )x^{4} + (113837805802559500132896020864a^{2} - 61018312632034314369532439808a - 77888926628630858633796099520 )x^{3} + (5672860266298115143147450992a^{2} - 559819132507766638610465862128a - 559336079540341660958307086288 )x^{2} + (-7279774638468643259283705152a^{2} - 11885012668325493798507369728a - 556279896324629572981199348544 )x + 94422038181396883946190747608a^{2} - 136691428349266281603784435344a - 279369107852059385439450130892 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary