← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.512690_551642_1030248.e

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((-295968719212374801650614984713a^{2} - 293069287739385274967995909550a + 214682436221333928788672608478)\mu_3 + (277522873902664330110225455556a^{2} - 34057568769942799801501858110a - 293396678906608585913231425097))b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + ((-3a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + \mu_3 - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} - a + 2)\mu_3 - a^{2} - 3a + 1))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + (3a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2)))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1)))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-3a^{2} + a + 4)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (-a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (169406423854751602341380819456a^{2} - 361549672000714031086380758352a - 607376473212922345557603255952 )x^{47} + (-375433059002251676219461711196a^{2} - 578872261707768315486006150768a + 211448098797479883897405524640 )x^{46} + (287914535254737770798355170248a^{2} - 518718810384738041946976341136a + 524526514157387372063708995760 )x^{45} + (-290636714779819929740943545244a^{2} + 479903018303070834927280748336a + 71113945205839804282481804784 )x^{44} + (184361258064252896219552783712a^{2} - 121566558906008475411175977136a - 134855282839095302777550372544 )x^{43} + (406214472447174897161489785972a^{2} - 288466948890731477516269233120a - 365715697562913945091781658408 )x^{42} + (586258426842917204863591605064a^{2} + 504164954252440282488075310096a - 292578175762776810160782119328 )x^{41} + (-464618183249507391885305444328a^{2} - 498799879021597858697116802172a - 473953715160545984529273960856 )x^{40} + (-468694264106265952430647535744a^{2} + 236451787039465573426005423216a - 65952001616513197955703609040 )x^{39} + (561746549240664911692519795824a^{2} - 161783961796445489049976423912a - 218707098436637754862846440424 )x^{38} + (-501041776768076248615467830232a^{2} + 361819954361327396902765614160a + 587258610816307371242894652472 )x^{37} + (-319916116175497520398536269064a^{2} - 411262246376268643314478015740a - 387601526183679674689279896440 )x^{36} + (81562891301611483961178239360a^{2} - 459270739377620539784399502000a + 34867294740721556517296008000 )x^{35} + (183184893223750461573608303648a^{2} + 286860838156961007499356674236a + 521385280097063928595388967220 )x^{34} + (227581364187278183210252075536a^{2} - 157628243700103783303540107344a + 531542362184703141295873831312 )x^{33} + (-425556814174176581832339769694a^{2} - 78806791005924033471394987118a + 507444279263373244650876319128 )x^{32} + (-164892098084168269252847165792a^{2} - 197445821267006108780382272576a + 436733913393689761854345991696 )x^{31} + (345867495860649170824816244768a^{2} + 369404344738351144296528792120a + 135757570431829405711382075776 )x^{30} + (427309937166365843310825215768a^{2} + 40402009447310358552414067040a - 105007597248073668608378930096 )x^{29} + (-440083357783411246897250262796a^{2} - 215529978694515451262088136856a + 335469451106936791985252749168 )x^{28} + (-371850297677939439825861770848a^{2} + 485625426483518689066776143840a + 194175533101624182721624494784 )x^{27} + (145754075875581383144927291656a^{2} + 209222702597354330574307182872a + 534088072488923479828807946864 )x^{26} + (560895264487304368072492353328a^{2} + 470312187090232509579839586608a + 361702111053372638297517476576 )x^{25} + (1410871563809054174585918436a^{2} + 267761673956070341013720168392a - 376926073214224185100996004796 )x^{24} + (99992478958918773711402917856a^{2} + 252781896022168596833985656560a + 483251302910575668754407679968 )x^{23} + (-212318175551827003891441832696a^{2} - 200819834433879329243251695632a + 33582405468917830825517185408 )x^{22} + (10944606060265649931917199632a^{2} - 292843975676764862295866143600a - 218429193729123632357048232000 )x^{21} + (-402613511958834878893382231144a^{2} + 146685837897817751373301575024a + 208043649967576619118253357072 )x^{20} + (105644068381444457041020334560a^{2} - 174265990100208173874913276992a + 348820056855416684444503720960 )x^{19} + (-166785600572666214118960955584a^{2} - 52322983583847853635176940608a + 16620099706112085642020724376 )x^{18} + (204722702945020279440539458256a^{2} + 566565399391478544951045170416a - 106176085059227015108562754864 )x^{17} + (66279227834961958021808164100a^{2} + 93787782446642809763691391440a - 79204671498126423775171512916 )x^{16} + (-603852170541296665287243612704a^{2} - 179203573394993607917161068512a - 177537914408231487851981467520 )x^{15} + (414206927573696662506614388936a^{2} + 433331351493198164280054725256a - 242338368539345415511200903656 )x^{14} + (372307780741008902874429771408a^{2} - 243106545098867754412343204432a + 306957383908932887333518708464 )x^{13} + (-64853285011002453371653845816a^{2} + 121524190409327986104106044640a - 36671425137255799395901787256 )x^{12} + (-197316808012459893817772237600a^{2} + 69452085095439743985367420096a - 120730081688632288876056408672 )x^{11} + (532176442025282670694913469360a^{2} + 40163415263355149428968133992a + 506762684995694871823163503704 )x^{10} + (619170041930823292881354522400a^{2} - 118168601207418088228809936192a - 631165082521313414809076220544 )x^{9} + (-280327902212422128888688763668a^{2} + 239875455606939715669929752356a - 395716024404293668513469079952 )x^{8} + (-391709242392036782765614726912a^{2} - 12055447787990973859640668704a + 476223010667386768610520580352 )x^{7} + (530437132808382397408888831472a^{2} - 614600713916562684075720456048a + 584616783753612666876304484880 )x^{6} + (112463680447320766696196952992a^{2} + 279023396303721023073613951616a - 618068979343995674283235271264 )x^{5} + (-567199195693638910456124912776a^{2} + 276820468943906021578997233040a + 27552328013770663109386905568 )x^{4} + (-354368149908415610044935252544a^{2} - 86342108444847839139274930560a + 114078532173951622250582227200 )x^{3} + (-432393802413082613513364151248a^{2} - 424316153078939293482855220304a - 134158949179811975413252885328 )x^{2} + (192326704145947332726627526400a^{2} + 630064252335062295526298615040a - 55306813067946743562438175648 )x + 38251449216278747992280965800a^{2} - 602962150932683285970418018928a - 471192584847968086661792374716 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary