← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.512690_551642_1030248.d

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((-295968719212374801650614984713a^{2} - 293069287739385274967995909550a + 214682436221333928788672608478)\mu_3 + (277522873902664330110225455556a^{2} - 34057568769942799801501858110a - 293396678906608585913231425097))b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + ((-3a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + \mu_3 - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} - a + 2)\mu_3 - a^{2} - 3a + 1))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + (3a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2)))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1)))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-3a^{2} + a + 4)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (-a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (168538172272558252422709618968a^{2} - 377655066719353729509438007640a - 605057837034786932749748715312 )x^{47} + (6146335611299963491787840376a^{2} + 460630646427194458531086171304a - 107699211346509938576500640584 )x^{46} + (-14743913035969303534879867528a^{2} + 27124379439525358743882316376a + 415227130608740638266952133216 )x^{45} + (-358175784350213372426663046304a^{2} - 520567345347830764048780607160a - 450338174452980241749632714872 )x^{44} + (-502388625760107267639513648496a^{2} + 71006709306042159760798705520a - 269464053710626483449540483848 )x^{43} + (-503718912642154260217076962376a^{2} + 632674610447502013526506155064a + 92912234408232204618173143848 )x^{42} + (121534302091969299742173836616a^{2} + 210442191731418847964456468272a + 428860306878019744838814018880 )x^{41} + (-332120323571337223737647406388a^{2} + 540181290954933575474673353432a + 475295146543103102787083039488 )x^{40} + (545496335422184199632645133696a^{2} - 91208775459464890368474685584a + 292143425583409337056883080336 )x^{39} + (352953422694470974564416053168a^{2} + 505850065682870593605967311848a - 72278011709064040713727383220 )x^{38} + (51334044834704809502406909576a^{2} - 442324887207699344864084174808a - 491326073423938266088252354560 )x^{37} + (505785277186724562093481811116a^{2} - 177223087110029082162584466400a + 132187409105400192483407728248 )x^{36} + (-70785868350115117251220162912a^{2} + 208998209526345044938596360048a - 520345926525616590485936053296 )x^{35} + (-501805091563539102155569005648a^{2} + 21536349586119425179380334172a + 235941167672305041160317814876 )x^{34} + (-611109138877474075657230401120a^{2} + 543127008224960263984310186656a - 226455068253734328186837475984 )x^{33} + (461310762381182520783871943456a^{2} - 75779479639868988634489543502a + 95470749437518361038054439090 )x^{32} + (407375414593864039657195423264a^{2} - 405500852883362747854972050272a + 577349655322520045072692722720 )x^{31} + (-421138220207903368057507644256a^{2} + 38496535595636587131513717272a + 239106709737686826173714862344 )x^{30} + (441213637140674044937207654592a^{2} - 383021313121708315628887910776a - 231130163317162310402177551432 )x^{29} + (-370958192738212530331464373452a^{2} - 48617729642775693247751116960a - 72390808941161809522237130788 )x^{28} + (126073482576169882266489601264a^{2} + 434707643821534402701564919648a + 470853513789682134343412562432 )x^{27} + (346820890279921196349419292616a^{2} - 620259700729545338895241514200a + 45018900690261885268615097960 )x^{26} + (430969749972071468708342137656a^{2} - 356319201146063578789141341728a + 29148619243876933334536507656 )x^{25} + (65859776541360871961157669440a^{2} - 135797679878865213029703872772a - 57384379850225989267883428608 )x^{24} + (-598095286089028218433494533920a^{2} + 534406270756253992051178303744a - 487316432825803556795250965696 )x^{23} + (294814508382300794411457473984a^{2} - 235332947129585187385637419248a - 202357039376174723794516618752 )x^{22} + (-387100655126437348911626691632a^{2} - 98088001564662405038276890656a + 500201010086696482976788475872 )x^{21} + (-400033178761767007930590589248a^{2} + 529645263400270641285146497736a + 225899259876638811122258644840 )x^{20} + (-216455179252367771143791235888a^{2} + 418189265024854016853742901088a + 235340513265752409809684548608 )x^{19} + (-491418352448019045858621418328a^{2} + 273279576586898104345937103912a + 261794213448260794177042504920 )x^{18} + (-579909751852350287511937873584a^{2} - 11987042374470986898635536688a - 74615817329721748477283035008 )x^{17} + (-347178475409249428092580847228a^{2} - 190176818296303450512828727236a - 127317111259605000121362861856 )x^{16} + (-350766376086703638162010046176a^{2} - 160213115829097800409134186272a - 579423457616775224069215470944 )x^{15} + (85655659627988369188814732144a^{2} - 146084547139841677229964063360a + 225375282153351634928175025856 )x^{14} + (226935567109002064081192960752a^{2} - 140227450254663442986444806720a + 400493994106148638433571641904 )x^{13} + (301165293297785849697490655912a^{2} + 197664990458299432586278203856a + 127654197918711593731407234288 )x^{12} + (351820977290536104193645974272a^{2} + 137975364727758021386604303744a - 415712782610287557172111212864 )x^{11} + (-147069162341189782160015837640a^{2} + 77044105604620045373411246744a - 523610826236532641813503484536 )x^{10} + (114615680494311020677737681600a^{2} - 31709673440377648972179084432a - 345265101378420449661197694944 )x^{9} + (606442533831584427555442416972a^{2} + 589587599193692131798962478308a - 308777950316200025932250089732 )x^{8} + (-403407350206036249923396731776a^{2} + 477010393138850233652878223296a + 562393663554392607650388187904 )x^{7} + (503892266479720613998182756688a^{2} - 623839890778663446829314548464a - 290613251377639429212554623024 )x^{6} + (2676264839647462432644725984a^{2} + 225053369357250612415998230976a - 22098016978296723579489809088 )x^{5} + (621030162797907798626835243952a^{2} - 511058103947925314464955999768a - 359865013155150791302498812848 )x^{4} + (532431462884315731906864126080a^{2} - 65886951035850972844024838784a + 203446116586451810530096833344 )x^{3} + (-164322163021055554396394488128a^{2} - 350435716336935871606415351584a + 293727385644342335189770514800 )x^{2} + (74042526097439700118094505472a^{2} + 533119897863206209142554285808a - 115077272325818325006206348000 )x + 306123994919259254553443581412a^{2} - 582780244079117783239427152276a - 363478707056559249479792737368 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary