← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.512690_551642_1030248.c

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((-295968719212374801650614984713a^{2} - 293069287739385274967995909550a + 214682436221333928788672608478)\mu_3 + (277522873902664330110225455556a^{2} - 34057568769942799801501858110a - 293396678906608585913231425097))b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + ((-3a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + \mu_3 - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} - a + 2)\mu_3 - a^{2} - 3a + 1))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + (3a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2)))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1)))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-3a^{2} + a + 4)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (-a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (168538172272558252422709618968a^{2} - 377655066719353729509438007640a - 605057837034786932749748715312 )x^{47} + (129886542459747418219698685616a^{2} + 63745900777140535864091500992a + 458579480804383296028933576616 )x^{46} + (-43549748990617232462482878152a^{2} - 56754666695037470208519944056a - 243216761582638970904130745184 )x^{45} + (491502600622690428873451461568a^{2} + 220534229981508890458806288880a - 607128582022022426025750040544 )x^{44} + (-528176626843472813227236431424a^{2} + 180128328495349793034144825952a + 595193469476223560330966426008 )x^{43} + (187137997712486344443416366984a^{2} + 74690643510309614133284322736a + 310652477987196304541975748000 )x^{42} + (331486107890595157792679414040a^{2} - 531668396033850856273027246888a - 412284851956254700236857494696 )x^{41} + (572496736255230191101911050640a^{2} - 545052285182097983502661575612a - 62206644935434295532088149224 )x^{40} + (553017328738625230378774736224a^{2} + 236461137482519206795850224080a + 74290465092604098327120129648 )x^{39} + (-629509464992032363134714340112a^{2} - 204299881684026704205364174920a + 354623203820160651854217883788 )x^{38} + (87545822319451246838604509976a^{2} - 533192654010084062626160051544a + 109412963869332128065704274272 )x^{37} + (630676059322909442681704012484a^{2} + 176508116567136922536897105976a - 282182964730730970351112646496 )x^{36} + (-444326612029214681620002775232a^{2} + 496654411159957176019684227472a - 447814960830536110065780078640 )x^{35} + (551402135957994978933349623368a^{2} - 483012222904805369318463432380a + 545441517853050424819949561492 )x^{34} + (-518075735701740323741774527360a^{2} + 261814386169965834678148489008a + 315146747940305910542599120320 )x^{33} + (-603620008405481328019807517924a^{2} + 546267247906981268997606047798a + 222323258929146297171086921918 )x^{32} + (-319057484629114291694572590912a^{2} + 426596198868083301515207702400a + 528138971149128477207833402624 )x^{31} + (295882209158266376691339804976a^{2} - 522091190995066540537734921080a + 467446200550537515392802129672 )x^{30} + (206873855649023639169532835648a^{2} + 326586983764521103834396259912a + 135631912614717471372439393976 )x^{29} + (-86050638746454009028152273732a^{2} + 104018943258046514026193503760a - 17669898195889016759229025948 )x^{28} + (-598592775409235772403459957968a^{2} - 525098722351259501754266500512a + 249970449644082254054126203104 )x^{27} + (-552888244642554677817907825592a^{2} + 103973824892475211395873574808a + 222184393794762197122547167128 )x^{26} + (32736354141707332911305707256a^{2} + 48269024612105382904186853920a + 200444034164225532001805831528 )x^{25} + (46701875838312311343293497976a^{2} + 401577556590030082529680910244a + 340165700596680266720298126488 )x^{24} + (376440444829700930865262677152a^{2} + 445230874541977309795091197664a - 439864954769298505205490667520 )x^{23} + (149317171425636067862748756384a^{2} - 412524135868812056270915824320a - 403868276636633956812488709696 )x^{22} + (186918511058955535745935334320a^{2} + 152078007911647176134408864096a + 607738178097672451662246854240 )x^{21} + (323766629150223762064326740400a^{2} - 441940009239792888153211048224a + 214018908128398093637805090944 )x^{20} + (189383428997503617565540404048a^{2} - 119181450408161910904492427584a - 579221054557999550656424919456 )x^{19} + (447489549067805768978727057240a^{2} + 527037230027252767943603202392a + 186378940798131711493996860520 )x^{18} + (-462709090466199301010392285360a^{2} + 221502243887208819485275766576a - 290403128514777973441960075680 )x^{17} + (311061688154498116653742526668a^{2} - 115466423199440295264897747284a + 515613030810893464562327661880 )x^{16} + (-290955675623653238470354747744a^{2} - 328701201345364449018794732320a + 98521956934002523221706879776 )x^{15} + (617943425127606036672102305264a^{2} - 68385839436697910584169028224a - 233186026058714921346558390368 )x^{14} + (-211757451341314649556189444016a^{2} - 253453418596014350637302733088a - 410705699874629221951052830416 )x^{13} + (-246793756295681054549817633912a^{2} - 128389241299758504489171829024a - 413777160603183010533973581984 )x^{12} + (377202862217779030056953651680a^{2} - 3831202541508020765053821568a - 210187226451136524309813727328 )x^{11} + (-434056225352308277827946961992a^{2} - 446326591367737315886337397704a - 12088146088347663918226274680 )x^{10} + (196851417787220033397691846976a^{2} + 184013302034781580154266477168a + 108953590035720455214663329280 )x^{9} + (-475561138200967131242954862868a^{2} + 211393761339452501133888553444a + 47630629536554155310755831708 )x^{8} + (510914963111873795449061085440a^{2} + 492207948877405075164904427392a + 100634509490758768747572700160 )x^{7} + (445871162139740439835180535024a^{2} - 633808460980130532584042082896a + 452053723846896369791933032944 )x^{6} + (-242059827238637934853904480480a^{2} - 229889005277456903697603780288a - 491341555470486949670988744672 )x^{5} + (-340940907840171593239663236592a^{2} + 552790546447232508182017407720a + 31040267189961277454285687424 )x^{4} + (-96768315140840908418052962368a^{2} + 288165903265758557753847288192a - 109985113377073482076840246400 )x^{3} + (-20041860555347544296594903600a^{2} + 306178649227923922722238040912a - 297933715306466346246755449808 )x^{2} + (-398893842164106047019727589440a^{2} - 319842591158035836775093758512a + 191334099265587665794516689024 )x + 385875046956068348944175261348a^{2} - 308667874585370842460573710404a - 625922126081581003909811594792 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary