← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.512690_551642_1030248.b

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((-295968719212374801650614984713a^{2} - 293069287739385274967995909550a + 214682436221333928788672608478)\mu_3 + (277522873902664330110225455556a^{2} - 34057568769942799801501858110a - 293396678906608585913231425097))b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + ((-3a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + \mu_3 - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} - a + 2)\mu_3 - a^{2} - 3a + 1))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + (3a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2)))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1)))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-3a^{2} + a + 4)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (-a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (168538172272558252422709618968a^{2} - 377655066719353729509438007640a - 605057837034786932749748715312 )x^{47} + (346255857616326448700504287112a^{2} + 230548562731174404061392429512a + 427164703039651503977999035616 )x^{46} + (-384779455979973958414334305752a^{2} - 86952117487849874801090361464a + 509373542181488081815265194304 )x^{45} + (-579110995873166365105337151952a^{2} - 614937159337544867839966156096a - 244332419618083187228468195832 )x^{44} + (-632520380248412904260456828112a^{2} + 393448416658223295696700895696a + 395338632294931118296618508584 )x^{43} + (267242274497260929573436488448a^{2} + 534307401795883259453485500344a + 537229602385380632161784587752 )x^{42} + (-87209436270363346272501032192a^{2} + 308545885256680134488351388464a - 542070597705962047631935168656 )x^{41} + (-90611513656567282040239226060a^{2} + 230773986073096385177362580140a + 338450754236898163084180572008 )x^{40} + (373387769611268479910643605632a^{2} - 281245250164816367074976564272a - 346773439105757592043842119408 )x^{39} + (-622296081757304799007096290880a^{2} - 80537643703249799492055983048a - 130467901970631773736270543508 )x^{38} + (-237467426232579096951660704296a^{2} - 245927008047504181045424201112a + 511832769929805471326259110592 )x^{37} + (-556032975689606745897068393132a^{2} - 91201221198726186731412942584a + 164929912897830990472458399648 )x^{36} + (158269521129888061407063257600a^{2} - 14500604410257777602399684144a - 29524744025674363034690770256 )x^{35} + (556807101255191252100512370528a^{2} + 615494549705933524062727112628a - 519784035125164746655094268172 )x^{34} + (-229026411620106190038088435424a^{2} + 191929111463545183226072667952a + 402206419695016502467551013472 )x^{33} + (-193188331175636494625834779664a^{2} - 250902027583026096839402054778a + 557734124866388770058914143638 )x^{32} + (-630289567426931532765977169408a^{2} - 240596497218739260535194645088a + 22376206345503054400236435392 )x^{31} + (-88651241825219125347889714240a^{2} + 440099908469415517291814661640a + 271587877551978713270715515432 )x^{30} + (520202561978354028298096887488a^{2} - 269162226470227235121864091544a - 49105455432866836768028871912 )x^{29} + (-347556880845949749647272043332a^{2} - 559728941741893069111728908312a - 501987941001595068113536927724 )x^{28} + (-340291376446546314158831748720a^{2} + 232171237815784418553285267360a - 317107336503734887038321475552 )x^{27} + (383555067268900581332808954216a^{2} + 121894300152356492934093426408a + 565476866067228067635894388360 )x^{26} + (181987894452085372738579095768a^{2} + 108106928626225051789474972128a + 240977948128258727745469024200 )x^{25} + (-553844733599379981227598434288a^{2} + 211150863862226567854323510500a + 339591731089077665787480060832 )x^{24} + (-116571154206577121253366314112a^{2} - 8105997716606917648956579264a + 390041300352596322229343512480 )x^{23} + (467592086509029475784919301216a^{2} + 192757656320593810568461578976a - 134485050843451035967048420896 )x^{22} + (-411896203837313794633109391824a^{2} - 345614723269661620425970600192a - 191375799639174904651412906176 )x^{21} + (-429080687046666319371183617456a^{2} + 82853360021025907380232105304a - 366719582515176604275291242624 )x^{20} + (128747925154367024588604829968a^{2} - 168829786244547981063856547424a - 127996844646290790226308681024 )x^{19} + (-268243291381857787007740776104a^{2} - 140561302073668078723801102504a - 466083268314492456631395309960 )x^{18} + (471148484627955163883579512688a^{2} - 478748533531472278487935818320a - 221950294126306119984004427296 )x^{17} + (-189567200952009448273083837804a^{2} - 276273767423007614791749101484a + 334794607404874338720513401784 )x^{16} + (-173537351075070632059154592736a^{2} - 573683689004905965264579928480a + 502336130373646272905812041440 )x^{15} + (-217708861558659386475433818416a^{2} - 361922072936567320707234215168a + 511007268212760590923523859488 )x^{14} + (-169876449457341645378491955472a^{2} + 351479540429161281894699551840a - 462556720911139058491012190736 )x^{13} + (-151940751350719583568384892104a^{2} + 56482638981927342318431339136a + 595424053329900086422845832704 )x^{12} + (-350516063308142106138262761920a^{2} + 220613443168339836020084503200a - 232391540113229632754319523552 )x^{11} + (-89111348091423561718645492680a^{2} - 302944445763384916161144553640a + 42611193160120570531531936072 )x^{10} + (406716579427941059134192142912a^{2} - 552956084998171490060135386928a + 537835848511623156414733626976 )x^{9} + (166837171636448319085984140700a^{2} - 344146878611281672601059414956a - 178132794323948040612810574052 )x^{8} + (477048333549633043273686693760a^{2} - 34268504930229895191112278592a + 329773058134591295424211699520 )x^{7} + (-106539644485207025968944509296a^{2} - 235361993141758446410182178416a + 435120068080914639374198923952 )x^{6} + (-474382886380278883667267296704a^{2} - 25294184069989766369888895968a + 574822488918448765819021606816 )x^{5} + (327482131433540189935395549392a^{2} - 390669771383514895928349936680a + 493700764597705799253505208128 )x^{4} + (170693211760202398485852620800a^{2} + 513308550855359404991834518976a + 605262946380436938775924462976 )x^{3} + (-354526064058475708356470678080a^{2} - 71043131711345643070194653808a + 404221109831973260745182439104 )x^{2} + (-216517622271621624806309013760a^{2} - 472725579870751665318883872944a + 109971053790239017914037981472 )x + 77448320844393926099667634388a^{2} + 312335550702363661147804869116a - 241110667547895810484567006824 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary