← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.512690_551642_1030248.a

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((-295968719212374801650614984713a^{2} - 293069287739385274967995909550a + 214682436221333928788672608478)\mu_3 + (277522873902664330110225455556a^{2} - 34057568769942799801501858110a - 293396678906608585913231425097))b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + ((-3a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + \mu_3 - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-2a^{2} - a + 2)\mu_3 - a^{2} - 3a + 1))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + (3a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2)))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1)))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-3a^{2} + a + 4)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (-a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (168538172272558252422709618968a^{2} - 377655066719353729509438007640a - 605057837034786932749748715312 )x^{47} + (-164112669195976782842758900592a^{2} - 497975183570030406814196182336a + 555114070599091174765609387952 )x^{46} + (17472486115479095690430873288a^{2} - 33498414642373616004465778120a + 270888580851837014490614891488 )x^{45} + (-608975193957834990814172935664a^{2} - 23564244258683734922701225080a - 496493865570249740650880885872 )x^{44} + (-94259363852611920389554116608a^{2} + 525744350244266066310373753408a + 172530489070391189252822841864 )x^{43} + (-51046517381923476464507754832a^{2} - 64349870419063853023517871296a + 148372229799692068472227280592 )x^{42} + (544304419646496802380728368256a^{2} + 320779334989615321313708669048a - 93889432171220603145180028392 )x^{41} + (367531380536412897926031193536a^{2} + 632986008312054199956216235856a - 562837364765725822383046332200 )x^{40} + (502613929187168848205687459808a^{2} + 590583290117355611977051173360a - 263354848776500537968960050000 )x^{39} + (45920706710518473767942767392a^{2} - 347113819733992362353417332696a + 124772693610230692592633565068 )x^{38} + (-280021559436739783964334971640a^{2} - 322771956966613168624472619992a - 419435047824037178512436048768 )x^{37} + (159722087406287615605331400684a^{2} + 112335295033475985083123208112a + 344370614853123282939270683192 )x^{36} + (293417901570322506711565696448a^{2} - 431508529887176413424825526800a - 633572090848179144566512054192 )x^{35} + (-45223767275184003397968335064a^{2} + 150269633658893192368954103100a + 202796144158002172499406642876 )x^{34} + (-274505387672146365726554699008a^{2} + 70291937075906507146788507392a - 39261821403225164833929783664 )x^{33} + (-19969368007017276516204307476a^{2} + 303725479595155522762533605794a + 409896109560278181198206197018 )x^{32} + (-386188104767447611560570332064a^{2} - 393211311469417070936740286976a - 310447772925623352234833822432 )x^{31} + (-243862956392801062601132364336a^{2} - 230006498477460858273564631752a + 153358881008744435326242954568 )x^{30} + (-361256990891213945535624525440a^{2} - 514056258693482921887733633432a - 455471601377785513463974197672 )x^{29} + (-326623725570013412467658163980a^{2} + 358602679824329520123720357816a + 335539352489310539182052942172 )x^{28} + (446141871356028185484449861776a^{2} - 522218559220475336300940578592a + 547813040939431313052945174528 )x^{27} + (150388662535471397004933922504a^{2} - 410832027953875085288354164584a + 389178453941310800272822591608 )x^{26} + (-344890124454839890191489442792a^{2} - 561689585764786518633554367840a + 351862576477571033631417322568 )x^{25} + (504973179385446367238669136744a^{2} + 6949134322554453730746273484a - 274057251581287567976979867160 )x^{24} + (-64134131531672327966868357888a^{2} - 5147611958784053423611087712a + 561434280036191670118407776288 )x^{23} + (-42855628230626441749585150592a^{2} - 443851138499854037988880694736a + 570995439176044694553321326240 )x^{22} + (-620774656351209740545082805232a^{2} - 119741493249335640451696410944a - 279189834995303281602951615552 )x^{21} + (603328267845378439534846417984a^{2} + 223497024579460789813164139424a - 497024797175985957772575580216 )x^{20} + (-485450375496886469825365751792a^{2} - 628243125413547348286629073280a - 18271904667603725630146529312 )x^{19} + (-192629727578632470450222253464a^{2} - 551645953595292084376801978104a - 333882146492622567431231906424 )x^{18} + (-175383851323188518416265229328a^{2} - 144259420650047973083303336720a - 101884528009848040208222441152 )x^{17} + (-463877011796882276786366036004a^{2} - 419999134863131579199134714028a - 534502343942923001762792083008 )x^{16} + (506112000079071484594821826080a^{2} - 605895686314728809382956429216a + 151686535884989974731403335520 )x^{15} + (111802088033719536904465860624a^{2} - 375613863109644662769047720960a - 495851505089057335254432094080 )x^{14} + (-128364733524685967405036520240a^{2} + 507622843535555868418354705280a - 573224360360179061692035116688 )x^{13} + (-622989839569047544629201163528a^{2} + 35874159794171907515289399792a - 184939362333813102833407365392 )x^{12} + (562830037532038781456766948960a^{2} - 139701759673550323894953658976a + 46467954544122268300231540928 )x^{11} + (412300929772283414900732158424a^{2} + 264494766900157631847426995288a - 158203584497816198642245204312 )x^{10} + (46214178400912600395402630016a^{2} + 41682597396679038449211188240a - 127827846290460624235538943680 )x^{9} + (-330126371307203127466119419908a^{2} + 562486051483572618870591888244a - 64652088329668035520904441700 )x^{8} + (22390910396489182666696930176a^{2} + 3061889902087164737252290432a + 273281370872715406846669789632 )x^{7} + (412878305060011806616928390832a^{2} - 130807411606388292007108459216a - 204130068637393243771166529136 )x^{6} + (-7878121084702910334948769088a^{2} - 319602239453176725653923485664a + 463934674162572836375070401088 )x^{5} + (390440962977613240645358393200a^{2} + 77296998882185116543279871864a - 345244807501292541397531735440 )x^{4} + (-486654270684044174471572079296a^{2} - 26061139753708564611522403776a - 245859655465372594326566203584 )x^{3} + (-376293197082149015325058412144a^{2} + 385848463112605442504286129280a - 340114807912078838834625627296 )x^{2} + (392880733306888324227939198912a^{2} + 25260204839692606854913405616a - 179382597114175678613771592320 )x + 308662757303654893938335125876a^{2} + 298895390983778047294462536748a + 406570058457189474173864694248 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary