← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.493368_526336_1019704.p

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-158334854303112013888211620954a^{2} + 148887752389098467174429495251a + 65859993455746845017584988184)\mu_3 + (215769129829198056193103708214a^{2} + 56030685696594453748496155945a - 272892461432959903925974933532))b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + (a^{2} + a + 2)\mu_3b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b - 3\mu_3 + 2a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (-a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2)))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((4a + 2)\mu_3 - 2a - 2))c + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + 4a\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (224706388846822411512455329256a^{2} + 338408124400652759915856587872a + 542389326009738678333861532272 )x^{47} + (559051258311551749046111710828a^{2} + 424698806430583192636084791440a - 449795197741213176781565293384 )x^{46} + (111413979630380578110110633440a^{2} - 502630751808324146073774179504a - 261417149791739961830326210736 )x^{45} + (-353747755892343777606966785492a^{2} + 503688800649124923077054466048a + 295739229496022277418201593864 )x^{44} + (-410223315330682929849366737968a^{2} + 282581816184282607542438237536a - 103844483051525465415108050544 )x^{43} + (-595610922220456270136919163808a^{2} + 198217950154428147063211984320a + 293036545590305883652390161292 )x^{42} + (-193256919854876168107947606832a^{2} - 107207781298141910267981357536a - 428511915554824257270257136872 )x^{41} + (85453186713031622335954206188a^{2} - 155665713693298988326912027772a - 565048959478998077242426083080 )x^{40} + (558569106732132299753737699232a^{2} - 348909550770854850400867554512a - 246061137179313317153171913296 )x^{39} + (-381701535456387419523812694456a^{2} + 195371379026060561086005194232a - 512601588768659891103208595176 )x^{38} + (355105830666253794624492879280a^{2} - 600851891201156846670702395136a - 355668081772826094809203154936 )x^{37} + (141107806292198616688217562928a^{2} + 203483206980420182372481629080a + 594703543496527819421378816836 )x^{36} + (-467752526922581697679604957360a^{2} + 209465351420414281665024761008a + 382648688883264419268451903040 )x^{35} + (-111419037344870120088681616100a^{2} + 567622546151850704530603388892a + 231946798748864228679837173152 )x^{34} + (-512829726622837838421821284208a^{2} + 565901958883354425210925695392a - 211255193182347838963063981264 )x^{33} + (-487571468137745883058053443484a^{2} + 306168559934725525416081427442a - 550216383976085667047996756556 )x^{32} + (-122244395283395545207529945824a^{2} - 19563442955984506701009021648a - 527033004817369001378297836192 )x^{31} + (474796704549141978255359913880a^{2} - 410948485907931048594746944776a + 192051137380953357556049319752 )x^{30} + (-396149890334180016948691636776a^{2} + 217888242970387742477019677288a - 553549272150845030630577196576 )x^{29} + (295098042857482563568471709236a^{2} - 312296098707613124478066657540a + 191851633824708280724001603600 )x^{28} + (-357700884726993557696249261024a^{2} - 485732668096122763166382646592a + 213553330105977906205454936480 )x^{27} + (-624787294342870881367897701512a^{2} - 452000624545992748836927313008a + 180753528923457964044895838432 )x^{26} + (-162851983394947528373974868592a^{2} + 191479396333894973522778576544a + 192706843912093732542940036272 )x^{25} + (88486751333142232866459762832a^{2} - 536421754512428957261018574080a + 192799734426970524162437984584 )x^{24} + (-569261399307614868567549481392a^{2} + 310878245021669623643306978000a + 431253323359802356295430382048 )x^{23} + (-466434442624172341380204538808a^{2} + 395168212382091842707943397616a - 248193478441938154118505219760 )x^{22} + (625011054654959394373428848432a^{2} + 230519709536916020905016471792a + 183858093554177321720685243888 )x^{21} + (-323235996117540277522286221608a^{2} - 303680594626931488981267448976a - 626949882585462259957548954904 )x^{20} + (206171215891270759708707633568a^{2} + 10081034360513186381578665184a - 186202089638740089677175956928 )x^{19} + (127429566297612464218657586120a^{2} + 362348672540091917701163113544a - 329063340175933906707609526216 )x^{18} + (-451014302008952798937087768448a^{2} + 275721106170939941673873314272a - 120727237663459733174115483840 )x^{17} + (-334868168108657539648822589720a^{2} + 531824529996304260971611309512a + 530551270771603103812958763012 )x^{16} + (-94745945060786426775195829344a^{2} - 189118561728179622572674906560a + 132738568588500875386890365088 )x^{15} + (-240116576182093150122298744112a^{2} + 129235041849041214160606507656a - 481241548910276379431357839424 )x^{14} + (358948708009751783234774848464a^{2} - 343073400419357845564498714192a - 259759879997915607981760772496 )x^{13} + (-210654157535095081396879810152a^{2} - 58966441006211523955857077256a - 613185091920721283371766459400 )x^{12} + (616153457055432497223240552672a^{2} + 574497885775536163550939151040a - 276339748193985978882864019040 )x^{11} + (-479854104904553570998422679144a^{2} + 131431828271842092770820054360a + 266301964762302591779720147504 )x^{10} + (242873831392972469326617733248a^{2} - 146537825097822463319345443072a - 448559569777949225058465786400 )x^{9} + (427606408116122445003039676952a^{2} - 476675393445265833544315155364a + 196194175209000415609042983280 )x^{8} + (391739364217083230783068055808a^{2} - 350383443296859222964158383840a - 235162899506459559926219437760 )x^{7} + (164011748122502301008945564384a^{2} + 233737305435153495530154096608a - 164611713247222273206572175968 )x^{6} + (451027670859062150277459118896a^{2} - 613356119221276165140815337344a - 309011653676643860987042308960 )x^{5} + (-331857615597715210744689781800a^{2} + 581148499590273834314779284168a - 236391240510432976769117235408 )x^{4} + (612234921414528084981866339712a^{2} - 507833683647502688380566169216a - 8577802255988113618344861632 )x^{3} + (-68516998503681695268715525696a^{2} + 99042850487112490008840930128a + 478725147862285731071871446192 )x^{2} + (21415526599624033557325749440a^{2} - 551927077239911624771307995712a - 38339372399441701632863993472 )x - 120869230287997768397469627264a^{2} + 188563319142235295272021282304a + 237675825773055995445788887932 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary