← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.493368_526336_1019704.o

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-158334854303112013888211620954a^{2} + 148887752389098467174429495251a + 65859993455746845017584988184)\mu_3 + (215769129829198056193103708214a^{2} + 56030685696594453748496155945a - 272892461432959903925974933532))b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + (a^{2} + a + 2)\mu_3b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b - 3\mu_3 + 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (-a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2)))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((4a + 2)\mu_3 - 2a - 2))c + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + 4a\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (224706388846822411512455329256a^{2} + 338408124400652759915856587872a + 542389326009738678333861532272 )x^{47} + (-2708360707743852056348170108a^{2} + 154600799822612791980462292112a + 48735772216880290373740835320 )x^{46} + (-378761470426671050650956601376a^{2} - 415025139236066680851076201888a - 198174233404220468165298617312 )x^{45} + (413940595626199139918856068548a^{2} + 413584477724896795872248123104a - 213932071569402581045429954248 )x^{44} + (-312858065837716512025083738448a^{2} + 49735536928146890560807623136a + 591530180133153411531784299488 )x^{43} + (-573603953967371006521553540824a^{2} - 620311326838590494719815102152a + 531549199761104209121529570764 )x^{42} + (-403702932515023554454277799512a^{2} + 394287454943046754313249932112a + 519774724440668518235469695712 )x^{41} + (-99263917984596214659677834236a^{2} - 39735310442137482438283262384a - 113498068755404200056806397576 )x^{40} + (601746653218999589139111436352a^{2} + 476992916104276057855297328464a + 4139287460315689309835263568 )x^{39} + (566246608892306619083435088896a^{2} + 283311341262922044921648970528a + 99149328270528134012751722720 )x^{38} + (-577130712098832566409448460624a^{2} - 142914487823784650873139065760a - 472632745968315955192050553624 )x^{37} + (-553014386729079211955397594832a^{2} - 469104386250361712290963960992a + 77915591520523112724220896004 )x^{36} + (153306343055613070372718893328a^{2} + 474044371807967685721473286432a - 7894196134725870163246028800 )x^{35} + (-87235145932503570570161872764a^{2} + 627206681770839308757947334476a - 145140073550522692090627074656 )x^{34} + (-508756246343249869077924517424a^{2} - 195441689874388447682500189136a + 339885843320112363471954102096 )x^{33} + (-141991746363873459716538899080a^{2} + 95451025859281156585779002054a - 238520906626107326217601421368 )x^{32} + (409016737313972138283915945376a^{2} + 478875990656240975575053682352a - 457913440754429229803795837184 )x^{31} + (-384467222973527564023877377960a^{2} + 330372583300270741536653016632a - 289885056872202115638299273400 )x^{30} + (92145855011706048460084586616a^{2} + 152474065340377816170630636360a - 397066750937416616566912890368 )x^{29} + (-616349976901087301439049344036a^{2} - 477757549252871902368893963188a + 181109265196263982180101527568 )x^{28} + (458980593542260047223668043776a^{2} + 314676593546259018382017178240a - 156376920017868310527623418272 )x^{27} + (-290622837914692181365563045944a^{2} - 41381508274778997787448881640a - 316621214601095753492337956632 )x^{26} + (179814750583030773323628477584a^{2} - 170179488455509690471906807392a - 614055496438321020725108721568 )x^{25} + (-455116095832456973539032101840a^{2} - 449655890122339307000213602792a - 86748078909139496528713689944 )x^{24} + (244351361721787117151689021040a^{2} + 203679805850275180665927784720a - 227302410513070868817789143040 )x^{23} + (130192455612631355622430981368a^{2} + 61983596438942173049688970192a + 150986404015566785994043751056 )x^{22} + (20112983749817881287344662000a^{2} + 132613810422919297259688420560a + 191609578920895406826612560016 )x^{21} + (-207555153082354580700411674128a^{2} - 549820623496610090886090080488a - 248186902306347688618544330048 )x^{20} + (-599933348346536158307521124096a^{2} - 171982148597996304857520905920a - 83980719671839303231970948352 )x^{19} + (515347460949166305057844453704a^{2} - 161077518351555187644040804984a - 327611287192564363510102402776 )x^{18} + (552206753019464328133360917904a^{2} - 138342033110797280749560044272a - 168492675116318727620844391136 )x^{17} + (196479857715336725135540786264a^{2} - 384910453946176454573592332944a - 563866957508740819018756081948 )x^{16} + (357750877333881828932589687264a^{2} - 22102895410242177197605018560a - 297887715681370102386870622624 )x^{15} + (233098680552590690641103384912a^{2} + 574647904530990993031242451720a - 453353589391753816591666923872 )x^{14} + (-10481306308250732085526353776a^{2} - 124725428122230848341612006896a + 351488137679142633206804773904 )x^{13} + (-29687636143537869654856324520a^{2} - 624261196727919309248471692632a - 232589332707454154011443096888 )x^{12} + (445098991443466450153855587136a^{2} - 152132407156260023023849400000a + 287488092303437574859621393600 )x^{11} + (623078760401895021099192132360a^{2} + 100411591098294919794663194152a + 32586353803716165741832336464 )x^{10} + (405638219142757963167273139968a^{2} + 337026314870515029718699285280a + 586630654831621246212124407616 )x^{9} + (59531424374220350177104463128a^{2} - 311747793738099683031127922340a + 56211441504562182602630000192 )x^{8} + (201247559158705250401965644608a^{2} + 459278304344514991755519153504a - 188556658390544508834058838080 )x^{7} + (372589559096558326181153159072a^{2} + 187790896897405205524267085120a + 143925455295046035402331299072 )x^{6} + (-137383632868692160055246390864a^{2} + 288799149116802162862650019744a - 169632555790201075101031370656 )x^{5} + (-193717629736535657286216831896a^{2} + 115173298431029877729400454520a - 527670018248173351547106406992 )x^{4} + (66631417824685980914295633984a^{2} + 375259502858609774180013746112a + 528095099126052705859883079232 )x^{3} + (533442376073236687405391339296a^{2} + 383180849532690420248745800400a - 227519795401467835444150298672 )x^{2} + (-199058667338508003115135091232a^{2} + 403551746784140189324647352128a + 268294064853244205180689391296 )x - 616914100124606894896456325040a^{2} + 369337026221927576066201491648a + 198853926535409353901843941788 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary