← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.493368_526336_1019704.n

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-158334854303112013888211620954a^{2} + 148887752389098467174429495251a + 65859993455746845017584988184)\mu_3 + (215769129829198056193103708214a^{2} + 56030685696594453748496155945a - 272892461432959903925974933532))b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + (a^{2} + a + 2)\mu_3b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b - 3\mu_3 + 2a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (-a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2)))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((4a + 2)\mu_3 - 2a - 2))c + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + 4a\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (224706388846822411512455329256a^{2} + 338408124400652759915856587872a + 542389326009738678333861532272 )x^{47} + (239061585578412425686152781316a^{2} - 25783396777858133640978999704a - 173208851138966007010091930480 )x^{46} + (599262659642449918144139188688a^{2} + 594426511754018503712593227920a - 441641592706017492714559884000 )x^{45} + (72577104263817888585004463732a^{2} + 247398841374908299022880159000a + 4271142224358229885570628592 )x^{44} + (214840211199085413999436552096a^{2} + 58590985330428175178795883696a - 252487262350420787879869411248 )x^{43} + (-589956292083386595137075250400a^{2} + 589154394882350739338563086232a - 266819480200535094149251756220 )x^{42} + (249746347461950214038740494184a^{2} + 192744734706163417270720968056a + 478291033124297886483635136352 )x^{41} + (-489086970335100815728984042480a^{2} + 588159163561952136318919645644a - 18163773999003042537903012372 )x^{40} + (-268623336071896670655134913664a^{2} - 78486303184450726496430455920a + 205409477374335183504424219984 )x^{39} + (503535455325505312315456766568a^{2} + 172487541212446093552545374448a + 490389998060018985723846841792 )x^{38} + (-396598218664676140547929877776a^{2} + 370736531497829738857373324352a - 224152464407202015672936085688 )x^{37} + (-68552285976342575438096627256a^{2} - 246097733919751958027073616432a + 393112874331873259930427745860 )x^{36} + (-576091408998265627630223757760a^{2} - 574721851723362197583159774736a - 517242681752478103866445816848 )x^{35} + (-400250948966252714079234887148a^{2} - 500456119705524210035026418268a - 132088281978948574807859472720 )x^{34} + (-376322224706210268535833815376a^{2} + 321903358038449067843592178272a - 606608423589315316694862158624 )x^{33} + (7656187860527803977941900748a^{2} - 368490307494699977110667076858a + 480405058709443448659746017688 )x^{32} + (-224018293016089909445756462592a^{2} + 260422059132031653842208200336a - 437377707496943693627647085440 )x^{31} + (295586815120416426549278885384a^{2} - 474108427955625395551376239816a - 591967006991511712670172307640 )x^{30} + (136971261796659325676278333016a^{2} - 340255926178832858795844178072a + 49933579969484271504464751136 )x^{29} + (310015182204593698549642297980a^{2} - 60527234039042654542824763388a + 291169449473587243474994810536 )x^{28} + (488155441249138861330062350240a^{2} - 274378592634806164308664521760a - 240169111309075474735387566304 )x^{27} + (-16052007695860577957554676192a^{2} + 272094424515165309194801095632a - 453978021576722055300351796192 )x^{26} + (313249766896704976145646807552a^{2} - 9349896697208101465906263328a + 447474565211462378721227464576 )x^{25} + (118243685267252212303417745672a^{2} + 295395008451650174091413889712a - 559698054991829260867509709632 )x^{24} + (-433068794235221626967609918864a^{2} + 422254524036921981811560760240a - 499500398769254712485086294240 )x^{23} + (-568914077467285010486662701192a^{2} + 231910793774721259079673830688a + 159057312968657531992026678288 )x^{22} + (563948789458693225446208539856a^{2} - 632489610329669259363439797488a + 559329095651136542416247581040 )x^{21} + (-352343284064085424126524012024a^{2} + 620554869426800188855771974584a - 544671022408656175243432186176 )x^{20} + (347730950122725519405277173632a^{2} + 120007614366886097246709671520a + 91957985498912112085963109184 )x^{19} + (557910045529784670271571973128a^{2} - 30079000648009791568490399912a + 564792948251240049391716770488 )x^{18} + (-526730472318778719645792622720a^{2} + 289317397927886259655201364528a + 575699661807903264048551648752 )x^{17} + (-39825986704045532022398830528a^{2} - 128877391494033162914184036072a + 566404363780455975646301925692 )x^{16} + (224126539448189867702952092320a^{2} + 471980029679100562465455234624a - 543642034035218495570866740512 )x^{15} + (373974568122669212692220351632a^{2} - 489499211880734627659168624888a + 74244595746400942717695380832 )x^{14} + (-86487409151932209324407588848a^{2} + 132554862692426038247485311312a - 312664132479331797149598732400 )x^{13} + (519380703933913363562665631240a^{2} + 355656567530861962728596620040a + 220528951106214761912665157016 )x^{12} + (-398626765591990071776152623296a^{2} + 572671839985777311633982513504a + 329683306802289314091266948512 )x^{11} + (-421701157235781188780410796424a^{2} + 450708037070148903703674141864a - 3195935920122638814863783008 )x^{10} + (-27219812961633305181255589280a^{2} - 173559969408194737754897002176a - 466591523568492068399113850144 )x^{9} + (530566604975378628581591926520a^{2} - 133586872073612062370675369188a + 446826091912508002488594526144 )x^{8} + (-229231393351002203478495343296a^{2} - 294090074525323240869652186208a + 421407978169041934145046412864 )x^{7} + (616631730273540232809455124128a^{2} + 471588105915055539740601688896a + 30226180727191531152436414368 )x^{6} + (-286383366347418316222050120688a^{2} + 334910583239901460078249040640a + 220996606359413468941607937600 )x^{5} + (178349188106134202458039406744a^{2} - 590369526819766585310313113096a + 475943836468086208439628581808 )x^{4} + (19558276813648925674685134528a^{2} - 592106350747778556133488768a - 109881228077042002422599012992 )x^{3} + (366827044654362502387028816544a^{2} - 246959375832893568343059232624a - 9962515128913062856098192624 )x^{2} + (38798576801377828284776324544a^{2} - 568276686313351670306181325728a - 230649529611675638452600703168 )x - 276713080978997839340852690272a^{2} + 474777431487282294625268496464a + 31693544456742997077322308668 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary