← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.493368_526336_1019704.m

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-158334854303112013888211620954a^{2} + 148887752389098467174429495251a + 65859993455746845017584988184)\mu_3 + (215769129829198056193103708214a^{2} + 56030685696594453748496155945a - 272892461432959903925974933532))b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + (a^{2} + a + 2)\mu_3b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b - 3\mu_3 + 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (-a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2)))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((4a + 2)\mu_3 - 2a - 2))c + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + 4a\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (224706388846822411512455329256a^{2} + 338408124400652759915856587872a + 542389326009738678333861532272 )x^{47} + (-310512656727420428272823777684a^{2} - 157362712962510908302035081016a + 97257686188514946400254285376 )x^{46} + (-205931355130813813610731633392a^{2} - 95271421406103847029356551072a + 590138351179176766870127474640 )x^{45} + (314540278308179289707609041500a^{2} + 225169888703018474107350040312a - 568586026366112475550624428048 )x^{44} + (-248991960350936079676321641632a^{2} + 418627279392920005177682231344a - 152466079485859950648153200224 )x^{43} + (360112883777764696291815428200a^{2} - 122964592902047578965150505232a + 75234789387114196175771986404 )x^{42} + (149275289729042159765942521840a^{2} + 456457655602722700067305639624a - 362381342267698986422345595416 )x^{41} + (160771001440118271681188278968a^{2} + 23543149088173624735962773088a - 312946998793402688555156976372 )x^{40} + (-292679043334384995056970757152a^{2} + 56744527742656825780479827632a - 561644552773198425107049906960 )x^{39} + (-68582946973366629647907857456a^{2} - 379139209341633814648220147064a - 118081825295236981004581262360 )x^{38} + (-500547141143892450771193406896a^{2} + 18214902470310164295037830336a + 23706691885437655382808164584 )x^{37} + (3050468225358632944212592568a^{2} - 203792593542470191923091268184a - 418458999630957152158493506012 )x^{36} + (-424434789918304504672304626496a^{2} - 315241792121985000841264254496a - 53825870756026789231910785872 )x^{35} + (-485726072837870784119083664772a^{2} - 358514836328363170747536456124a - 419627632857285768858667119536 )x^{34} + (-543744321927696428901647526960a^{2} - 424123445657925288333228900592a + 4954610105532606279180211360 )x^{33} + (227483528566054688166274139752a^{2} + 594002598420908170601741874186a - 35915100042899998939430862356 )x^{32} + (77040031934225444581689756672a^{2} - 584640881619107526382927966064a + 522643963421707547370255913696 )x^{31} + (594125827177965103122544498984a^{2} - 228637216000811244190265743880a - 206693218502570693246052121848 )x^{30} + (-495496102082432178208063760776a^{2} + 464076975379067668218029460168a - 175460900465162905166024890944 )x^{29} + (-593283953546720775010940181196a^{2} + 115665925119114187004279046868a - 78495196225175072432293639432 )x^{28} + (346516963517099700538414841856a^{2} - 5847728841299098443602812192a + 579212743481089786053609661024 )x^{27} + (140027693955540417705356942240a^{2} - 277827542678923230566985579816a - 178286724303695191218597059080 )x^{26} + (-535106673588781779349096677568a^{2} - 554625916548174921244757528384a - 207363667132090756521690088848 )x^{25} + (-435257987641848090737056448648a^{2} - 217540373435082337938597316904a + 362945236630662052728698940240 )x^{24} + (-605245074719198634431663905648a^{2} + 513254713814714571006710985904a + 528043932740021811793942145024 )x^{23} + (-156835253119300745187502081208a^{2} + 609981321328707325316188107008a + 537990430502624766479699352080 )x^{22} + (399232970700034861606948824272a^{2} + 400391770518511028989964952368a - 416139825345334252128873928944 )x^{21} + (511958684653885329665291137696a^{2} - 445631266776208046371849347776a - 466167997965993626792017925640 )x^{20} + (-303754371991655493467196069472a^{2} - 370493590049015852813476235904a + 413855055536716419791924606464 )x^{19} + (625169401303965482099125710600a^{2} - 88316973810433252437531440968a + 151931852242275946865533845608 )x^{18} + (-559541936109548945965177301776a^{2} - 167561958905661958291747413696a + 460699911873770745085466473776 )x^{17} + (-603157452738894531648589126288a^{2} + 261802991475315994847520014416a - 86453549540345861378057008548 )x^{16} + (163283988574029208418590109536a^{2} + 175276754459595301540456517696a - 26890598329748922283921106784 )x^{15} + (475388364295483093329659437520a^{2} + 367210441696264245872262867400a + 500021909073416072137567252864 )x^{14} + (12707613230331770304325394192a^{2} - 478844393637155162691337293968a - 459552464173697782904303954768 )x^{13} + (214601740332824749178773892456a^{2} + 445393209108291123495785916376a + 337528674735793817960182299656 )x^{12} + (11121678356505040310758452896a^{2} + 336689044327606421320577599968a - 196552823766204670955377235008 )x^{11} + (-518649282317544992841450864568a^{2} + 514663184607509356045374234648a - 121060949930030465122808117728 )x^{10} + (354547564963914649869358419808a^{2} + 59412277678352586859403916512a + 127825872189611922811001974272 )x^{9} + (403638233944715720971365532664a^{2} - 9651421052042902534784116324a - 252062454599241470985063462800 )x^{8} + (-86596623822070175266494613248a^{2} - 544571913974537194723835856544a + 602807531922190896955412321600 )x^{7} + (391082928773588495338052777952a^{2} - 252275805232441446372003417568a + 225117567486319272884191141440 )x^{6} + (-59941143118785047159207111792a^{2} - 401335658840709874164396310496a + 559878596616706977127596629952 )x^{5} + (407248928592963130703277396520a^{2} + 503312818306696578939955475944a + 272595290161402030558911623088 )x^{4} + (-178881874924789721802605407360a^{2} - 200899332722242481147001916224a - 2914964267343025324691509120 )x^{3} + (84318483876776581360728738688a^{2} + 387862735896797271144005858032a - 267294490517179392246232434128 )x^{2} + (358876293427412905511627284512a^{2} - 152353216716616763728724175072a - 526262197947114010230537756608 )x + 393515914741736630992796791248a^{2} - 43398086037292670634386547952a + 161325833520550346550567265116 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary