← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.493368_526336_1019704.l

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-158334854303112013888211620954a^{2} + 148887752389098467174429495251a + 65859993455746845017584988184)\mu_3 + (215769129829198056193103708214a^{2} + 56030685696594453748496155945a - 272892461432959903925974933532))b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + (a^{2} + a + 2)\mu_3b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b - 3\mu_3 + 2a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (-a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2)))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((4a + 2)\mu_3 - 2a - 2))c + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + 4a\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (223649643620643381956240579520a^{2} - 281692794712123145736633408456a + 277394322754212532305276704560 )x^{47} + (45189133503844877055939971956a^{2} + 391359824310927953413043526836a - 385450524263224115356933429888 )x^{46} + (-161360161613274081231178857912a^{2} - 389664387879760952866548620160a - 119626253499230206627768929304 )x^{45} + (-71937376264226636400363026436a^{2} - 493171216697543818115220826300a + 475963310587993645608255851640 )x^{44} + (170943786341273136287640144456a^{2} + 314823550652530498407013752040a - 317549030637472808219907156560 )x^{43} + (163065879635503132787745081288a^{2} - 87371281876835836477465001488a + 304726949371487988965880894276 )x^{42} + (-467104656327213511896222253840a^{2} - 275504907943442319074974554416a + 528874722657385331593361175576 )x^{41} + (-532337138551524169786747707420a^{2} + 36557417135235783745339285952a + 569360193509731953352914232332 )x^{40} + (-207763490759013179142649248352a^{2} - 7110502601700000657969835360a + 128259623129837593097227638608 )x^{39} + (195766637082629899301074458280a^{2} - 307201221474202434633760652500a - 262572907640067866468244962480 )x^{38} + (-88953866335949194179385904936a^{2} + 347995414620501696099075998880a + 292081565586404065173011802864 )x^{37} + (-575375158181688412467385193512a^{2} - 550903354362368587485253701352a + 335823717763247456468828143564 )x^{36} + (-514889529592508644143475128144a^{2} + 146193843719099588417044442960a + 420626064323902496362980316816 )x^{35} + (-330795505652648299155352661452a^{2} + 41280349336716696911619685676a + 129316038922046444045135699160 )x^{34} + (-8050535808135535409316397360a^{2} + 468827087920367931752864641568a + 228710253761827227399778163048 )x^{33} + (-499804822083506763377876239312a^{2} - 81914452490681013092834576418a + 527107167929069543443027757276 )x^{32} + (48250652211425709531494075600a^{2} + 248352337309645792886551539728a - 553562378154120996244959695712 )x^{31} + (63630989786133856102119882632a^{2} + 15844400063689729750938817304a - 466693046165967300171609440856 )x^{30} + (-294637539957787955870983673968a^{2} - 565843547194816238833001573608a + 247588924803390661655286222880 )x^{29} + (85853123695655555071979556780a^{2} - 213687539392945261644755640684a - 473641416079048892393980368056 )x^{28} + (48059997819210427847033419568a^{2} - 202912650603314873758472828336a - 583260929346265629614796388640 )x^{27} + (-187220202542529789246191646400a^{2} + 36603399161091864314536424048a - 304021014515649235903505919856 )x^{26} + (35017460770178308110538429576a^{2} - 237112288546913222860394781992a + 47009580409357195554684179232 )x^{25} + (31887487517913037737744756232a^{2} - 242050108701622687593715084400a + 414268717555111729225325824316 )x^{24} + (-461176519981031142946052353696a^{2} - 159673793442062619338666909536a + 98323212315964715458914735904 )x^{23} + (576216084401570975486853466648a^{2} + 472109235673520934127217434152a - 440310554223088270113200513024 )x^{22} + (444248465196382071890128480640a^{2} + 141037747953035402990991769392a + 22879967349450381032752508976 )x^{21} + (303126516845744806375361887664a^{2} + 143221677702900905399322752800a - 519929443102286693959553150664 )x^{20} + (442636109689244978002915477072a^{2} + 168207396754528134653655189808a - 183894133929239752080055197920 )x^{19} + (-64336738853691398735982155336a^{2} - 113561428774313663056791786168a + 129812615200495469994346769432 )x^{18} + (-578263284193635291974108195520a^{2} - 538148367510059987668780268384a - 117218760404004337651441093488 )x^{17} + (-605196695651179295793926173544a^{2} - 208243535684783182836652534640a - 312979420034594810586210601924 )x^{16} + (-272402127186279433388331919936a^{2} + 625677388884247878121555931040a - 55333618927061729776146346912 )x^{15} + (224667749287252157095472825216a^{2} + 417168847038799027606328957456a - 314654578586801011430400687360 )x^{14} + (-622806556121937354279113454224a^{2} + 143537252659176705207861658816a - 192864295596509703515876512288 )x^{13} + (337167752259567143705032254744a^{2} - 576000535980394092136513603208a + 443401503745506719322167150184 )x^{12} + (557208962273515716606046155424a^{2} + 575136925849444412908933237568a + 259504038357761877740418261440 )x^{11} + (512449358693544072063836108776a^{2} - 615154102927750321916406625720a - 553383442070549105577372998848 )x^{10} + (106696933512143978820213647056a^{2} - 547644676940322127227566619888a - 47185810724319678429373509008 )x^{9} + (241009514754612501196070801920a^{2} + 63940543363097799664390155708a - 435277507942430105821468616736 )x^{8} + (-268469855595912131651354023968a^{2} + 283376575927170314798234754336a - 587125643408110860718974992320 )x^{7} + (-287883725371675112486304235104a^{2} + 456859946119284599816823801888a - 17333894260645058760015972784 )x^{6} + (-521026890729023666283980089536a^{2} - 610295328844992745809708111808a - 45344835188730067092473469664 )x^{5} + (-147445810117613158974944921096a^{2} - 108565017245627293944791913464a - 152838147894614233425689526064 )x^{4} + (-304234391295063001372595095680a^{2} + 205460717407514192338806365568a + 421225356557519947434058273344 )x^{3} + (227389660645279875866900593568a^{2} + 407912529779306827672906045024a - 321148747239179036929915436800 )x^{2} + (625905496417028384184723300336a^{2} - 590905157267879108267364057296a + 532951278847351053809650703648 )x - 432150200629568715618375793824a^{2} - 338322660335320367778540502032a + 506831108876964686182564914484 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary