← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.493368_526336_1019704.k

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-158334854303112013888211620954a^{2} + 148887752389098467174429495251a + 65859993455746845017584988184)\mu_3 + (215769129829198056193103708214a^{2} + 56030685696594453748496155945a - 272892461432959903925974933532))b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + (a^{2} + a + 2)\mu_3b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b - 3\mu_3 + 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (-a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2)))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((4a + 2)\mu_3 - 2a - 2))c + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + 4a\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (223649643620643381956240579520a^{2} - 281692794712123145736633408456a + 277394322754212532305276704560 )x^{47} + (-458247504681140248931689889652a^{2} - 618766758455099913685677777100a - 539937526706702106629147132080 )x^{46} + (-16113143344820283962269321560a^{2} - 280280550152469905900305107824a + 193135943022307362505803050728 )x^{45} + (54589843117423358305409362796a^{2} + 2495576172100326686706951644a - 515691381221409314417614265112 )x^{44} + (62047642074516311033908878360a^{2} + 303454542873658097752193734072a - 136352280246436919329005162800 )x^{43} + (-99898288475302896676431855576a^{2} - 90445818584697840908652783416a + 1754083675881504854875597172 )x^{42} + (326570059966258283501341430672a^{2} - 186184450383751899364608414440a - 623062517529587500345320570864 )x^{41} + (-55465207456060798804438203100a^{2} - 542873015162203552972225133356a - 112833377844554095741188258276 )x^{40} + (479837203654485629558010899680a^{2} - 446925721970727286125903542656a + 521380643948745667254145199952 )x^{39} + (-28106688358291182924953871000a^{2} + 30215372192836383496207881836a - 574941627530134708696760011616 )x^{38} + (-250427819433965005013395752904a^{2} - 18555095709725715248063297120a - 510312769492916854826133198080 )x^{37} + (295486752108871531447639500472a^{2} + 234640687275125657960447756752a - 230960562154693317594207570916 )x^{36} + (-587910341292769383461486012816a^{2} - 599222185979446012002562712464a - 395477271647896417253302344208 )x^{35} + (-282281951866280792826225203492a^{2} - 421338747029262770910321776140a - 128239169706237912291214794624 )x^{34} + (434614068587950253179016178320a^{2} - 259731584671594773097573693424a + 332289933629429758792432067592 )x^{33} + (-257285794010077224701633136388a^{2} + 475808136194320191691268355578a - 448693917035850923315150568976 )x^{32} + (471096186048413522627690624208a^{2} - 210800485628146399583920327952a + 29283763250502067532380419136 )x^{31} + (255241964998819270130735333128a^{2} - 473992695535705697516562663144a - 391879789115908757034466252776 )x^{30} + (134193879668536938332511281872a^{2} - 76551237976935338339001486344a - 109794022286432915202972202720 )x^{29} + (470445252320720044314028048316a^{2} + 276508133687817335208335665572a + 222552261566590775498719760 )x^{28} + (188956222290213053465485238864a^{2} - 306885660611456573169127268528a + 598723455085565832715464155712 )x^{27} + (470041090491354995655059062704a^{2} + 228478547867875322310377934416a + 61523034807131790174219222768 )x^{26} + (77536827379000786321511905608a^{2} + 35646316880183348702677960216a - 271695921709739449549228017728 )x^{25} + (-317621908116857964391916049160a^{2} - 353551642304877362856411663824a - 570861377099084111306904977732 )x^{24} + (-102575951641071335475180230784a^{2} + 626316954228515710157862540608a + 372350087189146310717537723328 )x^{23} + (-265726849446650253829057430664a^{2} - 291871852249480825945399564008a - 155687395091000857333486779440 )x^{22} + (629655592422827375756392879296a^{2} - 161811733669138524487812816528a + 224016869399851568564489518544 )x^{21} + (610828306247692776752829295928a^{2} + 632120045525943308848733849176a - 564524000406967973543119143728 )x^{20} + (187570974713222666706882661040a^{2} + 464991371529134451222497975280a + 128640416337296192646934628704 )x^{19} + (-137625100369857527084843884776a^{2} - 51763737126628061387790839512a + 524702880308968677435699099656 )x^{18} + (598692068460529609341949478144a^{2} + 290866551792724473549223049632a - 477545976554414253429709381200 )x^{17} + (-554516755278392556264898241592a^{2} - 399217418598599925135232594760a - 253939837004390648564959863028 )x^{16} + (-492480672784841361934037465984a^{2} + 18519599757142512606753310432a - 359807330096283199320246971168 )x^{15} + (-292919340089310624800669796288a^{2} - 596209336618462603072677240336a + 317512926970646947848374237696 )x^{14} + (-455264494105131635336580929808a^{2} + 300670568589487930635729056512a + 232512111306692083870265492864 )x^{13} + (504913544945271464787948768056a^{2} + 609222396679684855698884209832a + 630643819801433667051191657160 )x^{12} + (511083946605884635174758032448a^{2} + 414142160403782789327068709088a + 617821372654598650512159405472 )x^{11} + (295524976376454747007403719736a^{2} + 516038219802058720676763765672a - 624623240890612303328974358384 )x^{10} + (-454006238704502371698689491760a^{2} + 49016534410567358167871411856a - 223027459417917996220010615504 )x^{9} + (-587899667641958916025916357328a^{2} - 410243197066314889898827674148a - 163560387553952348358282619664 )x^{8} + (-185836215278022846769555080672a^{2} + 258691006142585397214201959712a + 121516674475780688670107366016 )x^{7} + (622140139995173937793204386624a^{2} - 429753838244562158344727998720a - 204199892245667970536082204048 )x^{6} + (555638409547180479251264457376a^{2} + 368376963794004209410615335584a - 99335196281064835346300841408 )x^{5} + (503504574726720258935458787960a^{2} - 428345012377334603690751166408a - 429509417948416606189226327904 )x^{4} + (-26991978228423249156595204992a^{2} - 101841313356812680565295209792a - 457275705558128103016985891840 )x^{3} + (-175358982149888608645033586720a^{2} - 140781238157145797146027940240a + 361273467545570992623961282160 )x^{2} + (381320156987984193869103712112a^{2} - 514928908783551523849951653360a + 222429279278697801813246336416 )x - 344873495206446876941276991360a^{2} + 37782744011744352893179755408a + 278707674905065774031464977108 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary