← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.493368_526336_1019704.j

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-158334854303112013888211620954a^{2} + 148887752389098467174429495251a + 65859993455746845017584988184)\mu_3 + (215769129829198056193103708214a^{2} + 56030685696594453748496155945a - 272892461432959903925974933532))b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + (a^{2} + a + 2)\mu_3b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b - 3\mu_3 + 2a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (-a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2)))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((4a + 2)\mu_3 - 2a - 2))c + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + 4a\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (223649643620643381956240579520a^{2} - 281692794712123145736633408456a + 277394322754212532305276704560 )x^{47} + (-518059030498286936684153998996a^{2} + 567943724334209950025362504924a - 498266494753244547337551088776 )x^{46} + (75598143973729837537885010168a^{2} + 162941016622796372083110068336a + 319603438776621052548342594920 )x^{45} + (-213861022834285432206870041548a^{2} - 325798948801247150711302393164a - 607497738724456094777891960336 )x^{44} + (-485023679308169972659823959224a^{2} + 397349322175680959926272235832a - 575642132377654204396292479248 )x^{43} + (-63905954005574985540252125072a^{2} - 468526764203906283247361921336a - 579266196007536241531305307948 )x^{42} + (-207577891622153456402424869752a^{2} - 314676655229726507950871225360a - 75726952498147347548805539640 )x^{41} + (-416286414343677431031082092080a^{2} + 280808287001542860522523516328a - 308380596230582601576727708104 )x^{40} + (-273820067019199221724424643392a^{2} - 288993055477724991917023574240a + 310543951114922088589308765584 )x^{39} + (-230477835819190886065708350680a^{2} + 185549059870020857436857301388a + 619400277912957434848131599280 )x^{38} + (214353213107657455072530309304a^{2} + 606012478193813239782452182016a + 193666690956937127117389167824 )x^{37} + (-136664907276409982801659866128a^{2} - 288653910630036560732844310624a - 429592497962958278790779573428 )x^{36} + (-60720173717768117104377331984a^{2} + 94679701733998381424288551856a + 149547426755107366886661618064 )x^{35} + (-180712714684251919852174356332a^{2} - 325505468369050600520057190316a - 516292666108286718290542433992 )x^{34} + (233251662214179054229030257312a^{2} + 615728342461250261698194023056a - 75197345428901488388323625208 )x^{33} + (-319982431310962408707117315896a^{2} - 543067568341157303310171616254a - 376588709522017533384561643928 )x^{32} + (384944664752906487526816547696a^{2} - 398898073759149023254915299504a + 310776794675548541937217345792 )x^{31} + (50787007492999362741699799304a^{2} - 305228107116069126950943608216a - 146922448268939744377818249992 )x^{30} + (-121646994860250379221312370448a^{2} + 570833723499338348814305222104a + 521512136192263949699146252224 )x^{29} + (-519950653426015281007469158580a^{2} - 479761243102923060877887786572a - 28105364041445340346393669600 )x^{28} + (296847017246512459304176482416a^{2} + 124360902815040270669455310096a - 480325718642873363451059933344 )x^{27} + (361564669564157833421434054064a^{2} - 398077278167831474253330194432a - 260103329064376750849436299632 )x^{26} + (589628855844117309320281816776a^{2} + 429075000641207316481116804888a - 377458479776025456603539802112 )x^{25} + (-424783546104308120563783984904a^{2} - 387806076748111879610903569720a + 388390249386364204069538912404 )x^{24} + (171371774658202247753826774496a^{2} - 556693800043795336577334397440a + 357128025441920185394463046016 )x^{23} + (-158965460307291923199266017304a^{2} + 244149971731058894316777282536a - 341404124536180003144968371088 )x^{22} + (-587220162666178450168161484160a^{2} - 260398994520833798574890034096a - 6620908909480528989108103600 )x^{21} + (-41476203304017527422892445792a^{2} + 575612146760619770471835011864a - 415581073944258102944487020880 )x^{20} + (-126227142324715007809596701840a^{2} + 453275152669744849618585865360a - 32708271712946463735397802432 )x^{19} + (-27043387138738936141141038552a^{2} + 397067711477721215522354908136a + 40829622490848949147002629768 )x^{18} + (-80275043248457466408333605088a^{2} + 349521262169856755258261585120a - 296612285030664037297908357232 )x^{17} + (350962873104993780434173149552a^{2} + 629779771359658196807019458880a + 247533397373346718528392946836 )x^{16} + (178367723665359088123595042624a^{2} + 507250715422284574143662022432a + 83651189439790937679553964192 )x^{15} + (-325544682478042526765829824448a^{2} - 554452819272558407068685708144a - 247693709537969562716575625952 )x^{14} + (38748363749572772588583499248a^{2} - 619621731743684084165332878656a - 303034966511943630628900078976 )x^{13} + (-171248255785208987214854453096a^{2} + 553205017865994637893174143992a - 381450103897123445461328794664 )x^{12} + (340712645910184781988549072288a^{2} + 43693979318636060731767408928a - 611045212599156318781910606496 )x^{11} + (-284584877480002689352547403240a^{2} + 272281535499431896657564935032a - 48468372015030220092442097904 )x^{10} + (-464227507289707034585568828240a^{2} + 20555211707956017695716478992a + 425936833201653799231116632816 )x^{9} + (-180530346530407240500734042512a^{2} - 459641438125747376327558582644a + 474064681306529748151588551664 )x^{8} + (-32768353468433593026704736352a^{2} + 134670216263425549474541327712a - 596944314081118622775893291456 )x^{7} + (600588500520791993934705723744a^{2} + 350629444630916755611736064992a - 144898066519008157138916101584 )x^{6} + (-423991329410823724297170063808a^{2} + 403817800800272503160152657632a + 106076626538636740452098141376 )x^{5} + (-31961277876740900183468077240a^{2} - 181440803595642366233522171352a - 38528315695306072027856168912 )x^{4} + (-624458946613791986922477822208a^{2} - 203219588343690517879550868672a + 355930731382061319862200726272 )x^{3} + (-286236565479382357933530575600a^{2} - 130547105276351341986228687904a + 621663258913248061579048147360 )x^{2} + (275269280381003878291907896528a^{2} + 561205179704963816076592333616a - 134973829039315164519366859776 )x + 615935700070150942077894310592a^{2} - 253313884867655036770181827760a - 368869481778704792293501517324 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary