← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.493368_526336_1019704.i

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-158334854303112013888211620954a^{2} + 148887752389098467174429495251a + 65859993455746845017584988184)\mu_3 + (215769129829198056193103708214a^{2} + 56030685696594453748496155945a - 272892461432959903925974933532))b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + (a^{2} + a + 2)\mu_3b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b - 3\mu_3 + 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (-a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2)))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((4a + 2)\mu_3 - 2a - 2))c + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + 4a\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (223649643620643381956240579520a^{2} - 281692794712123145736633408456a + 277394322754212532305276704560 )x^{47} + (465977725358587542594496495764a^{2} + 233597063071890476310598740604a + 447912807069174978513608519672 )x^{46} + (62631000385301752041647888248a^{2} + 62251001268929082857570835232a - 488690409229053045411656592120 )x^{45} + (95329232768858635161986036900a^{2} - 190398135403463194185954343092a + 295686134595812159098568913024 )x^{44} + (-425629263872176068670327380168a^{2} - 487382028974897214396265491320a + 118425868104229025490061922224 )x^{43} + (-517138562822724454416547065568a^{2} + 534093613318578991396702151152a - 218968808013798260957982779292 )x^{42} + (513904611928404710728605416920a^{2} + 575408575072036369601509434712a - 472554896729869687051269381040 )x^{41} + (90414408413351007829448857248a^{2} + 292531785311785114731116953316a + 430206979555197345293834605128 )x^{40} + (-110269887100845125394503949632a^{2} + 328619370168267762813617078656a - 41851864336952849688622247920 )x^{39} + (185953376388827744623963464488a^{2} + 353965695149997762992669029772a - 448071032160931764094808567136 )x^{38} + (-301728913239434536772466944296a^{2} - 526190163392707928442987135776a - 90713572379083877390371457088 )x^{37} + (-382450656992085503719205029024a^{2} - 226688063643725204098687988664a - 238158397132915255621120468884 )x^{36} + (-101969305756305540006663868432a^{2} + 627248057873635341227401747728a - 588841943510008839876291974928 )x^{35} + (563443286614462652351002471228a^{2} + 365276714621383750790132457116a - 30148095251106952841464513104 )x^{34} + (-236885413051959701348891736960a^{2} - 335155914713016887572696072832a + 470445319268703857395268330632 )x^{33} + (-188282093678650658208951306228a^{2} + 138427079205285374635571493630a - 605540503781671526014691999556 )x^{32} + (423074843272492632969030057584a^{2} + 135595931943367001507499502320a - 364873481023894719426647533920 )x^{31} + (306681837561361158631602633032a^{2} - 336906000335844469268623094008a - 60278931483381592427670087032 )x^{30} + (455734584497824417107328222384a^{2} + 632884986172318366216277928504a + 500380826892047384459899141056 )x^{29} + (-219615749507979781451770281972a^{2} - 538053451873808287085356376572a - 246426491489640205971990530792 )x^{28} + (-584912974367381970177242838512a^{2} - 487355446463729428420868618160a - 523023001802068903420971157888 )x^{27} + (-556249537476634927331188757728a^{2} - 587018656084170235200055041536a + 238624060740413367226373988784 )x^{26} + (-471967761233640986940409080792a^{2} - 30308429573323119946362696648a + 79563095699556504754096812832 )x^{25} + (5413529113807879205797052872a^{2} - 283343076607777349458992984152a + 37816966809829965559639357844 )x^{24} + (510236890970474319523131122240a^{2} + 557419977046989528681264117280a + 267754065008102237974916233376 )x^{23} + (234587902040355331608299527720a^{2} - 232083953195752437678413579464a - 583199361985387071364083208384 )x^{22} + (-72546780922707845151197177792a^{2} + 604675388375706189890544087760a + 177040297399614824225505251632 )x^{21} + (455890972347561076692340353608a^{2} - 237265028851430700522895487472a + 593791854464023812787702875976 )x^{20} + (154437770804071059659627183824a^{2} + 580557282728099233866579525072a - 463507569544151835450369787648 )x^{19} + (-91273003651022616371652411960a^{2} + 285732449021695422080881641448a - 170921686226561226951130411112 )x^{18} + (-28405259004122925761958005472a^{2} + 590455194023161940181323166208a + 597897854677591627576697247024 )x^{17} + (-280510044259500704078034515456a^{2} + 605689623557635722753107775672a - 626937352316435369803736305660 )x^{16} + (-172429202239553594316608442368a^{2} - 424062012490857560154680809632a - 258835065303711810127724917728 )x^{15} + (-632049340616219868291785662272a^{2} + 116747220812394024364695852912a - 411076219378491158764960514656 )x^{14} + (-127445915763904243447998553616a^{2} + 428614623968742152170304331584a + 183831691612958823736894811424 )x^{13} + (-550290094406922490537708632104a^{2} - 135204543868383125797107986104a - 25271414371609167762518511144 )x^{12} + (-623942814554833963266514648128a^{2} - 425164604653383793960694268864a - 320890736867492145861825621056 )x^{11} + (-144806186709498172931840219128a^{2} - 25846200238026180499656391944a - 256668645404538601397304335840 )x^{10} + (-439205660146987453555485908816a^{2} + 117510452720849348853643366736a - 397123396893938096430022496848 )x^{9} + (-211128958456374499918538325792a^{2} - 128418844560232102998167118228a - 51960512042758771076752213280 )x^{8} + (578655863796849068724153951456a^{2} - 439006936819881874026731050272a + 185713875238429265875359095424 )x^{7} + (374777838956913919596789465984a^{2} - 104248644738968602733623002112a + 267826608528275410259204526096 )x^{6} + (372725325872990377479063790816a^{2} - 349493715673668275882376846848a + 386413685689441191936282466144 )x^{5} + (607632720413984042110145918152a^{2} - 475484481768639146236270353128a - 556264604806050365376593068544 )x^{4} + (-81276106245216259034410706176a^{2} + 190115095010407777026081885056a - 467845608996827352408319731904 )x^{3} + (570938743939167621227115111664a^{2} + 337518791998081368695183482928a + 120315895601886918993299967024 )x^{2} + (454114973929135375885524703120a^{2} + 53898663810337917111600220368a + 376269205476827468492421986240 )x - 382992102388388601045485514272a^{2} + 317443259259250465414614379248a - 114472444865766147053993200620 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary