← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.493368_526336_1019704.h

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-158334854303112013888211620954a^{2} + 148887752389098467174429495251a + 65859993455746845017584988184)\mu_3 + (215769129829198056193103708214a^{2} + 56030685696594453748496155945a - 272892461432959903925974933532))b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + (a^{2} + a + 2)\mu_3b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b - 3\mu_3 + 2a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (-a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2)))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((4a + 2)\mu_3 - 2a - 2))c + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + 4a\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (224706388846822411512455329256a^{2} + 338408124400652759915856587872a + 542389326009738678333861532272 )x^{47} + (453335368062224284644403792580a^{2} + 387173986247977075127938100760a - 368581159205588774532041514824 )x^{46} + (454773873696432530040465823984a^{2} - 120291182762896998425234178720a + 16862010775116465374199653088 )x^{45} + (165157513910549430325061391700a^{2} + 518738551902236432037697939992a - 370194583490577829097503623160 )x^{44} + (-514657602656143827757218666496a^{2} + 493551022896786238097947388400a + 69288334276103464045008504512 )x^{43} + (-97693415480853937724453856896a^{2} + 591830398426752840545100020856a - 515294273100549235324435749748 )x^{42} + (-440718557595350567457199364272a^{2} - 211843483255147424098639898296a + 571525192287553191062176850592 )x^{41} + (-270753834406471126004669931188a^{2} - 163383988303254653382695983592a + 526932347994683281851428272912 )x^{40} + (251638413615087113847478318752a^{2} - 535447212893404387084197104752a - 632906693969626959833726776368 )x^{39} + (337700580043549544427769892688a^{2} + 290003186081948204018083108712a - 214040476365401378160664247104 )x^{38} + (-247327975326367090946427844496a^{2} + 261021396854486396263762334336a + 401956770584005367773801364296 )x^{37} + (515374880901191227908843511072a^{2} + 138944392769443346728204329200a - 588990691339435600905557230692 )x^{36} + (544172109935357546988412506032a^{2} - 277108804665033544007700107392a + 363209055648098822173266394432 )x^{35} + (119524947688599499515940059428a^{2} - 176787190043706326972385269996a - 347996071584794447377443012624 )x^{34} + (-34954004375558854719003461504a^{2} + 166815190485442077259597197456a - 266188687195263528206716761280 )x^{33} + (-496275649586709142971259958128a^{2} - 227791550084786594866699699742a + 621107601512882101124242082568 )x^{32} + (613604578930014289962463046880a^{2} - 490600339977856693933002797680a + 119749403075383043509516940576 )x^{31} + (-474943105289171405893113466168a^{2} + 382989438004118422661865589192a + 187532919375113159019891999016 )x^{30} + (503281685931472560538997697624a^{2} - 597854405617751287899244663928a + 474350633880100665118207138208 )x^{29} + (-606327506116264223525645342436a^{2} + 427445752621510319949676068004a - 525149596019146047098100579312 )x^{28} + (237671843921862185909230795392a^{2} - 165071896100096478081644400512a + 226429281485528647079268346560 )x^{27} + (-105518985732174771696108558168a^{2} - 107798422196255259770312983904a - 562176299463076176754828470968 )x^{26} + (-628662898610581012660822882304a^{2} + 294110703362579355879987106320a + 164416395945519661859761235632 )x^{25} + (593669868190106055701702986320a^{2} + 159776921054455064180000695208a + 583128214643900492002843626800 )x^{24} + (-460591116936228136249424523632a^{2} - 286331758331604634562193252272a + 171307096903911706285456140224 )x^{23} + (612115560990102428525362302680a^{2} - 238336165139555371684427621488a - 197968430555023462004483630032 )x^{22} + (-362247078264603264816981604048a^{2} + 150014936118801117710109113328a + 256435677242217876761610061616 )x^{21} + (-205693272664756582787518185264a^{2} + 505049011170845563030570300872a + 305823670457787130417417342144 )x^{20} + (169166786625665348068804441344a^{2} - 59859459763510754255679027072a + 406817924254220791501255583424 )x^{19} + (-450360497772335774775994667992a^{2} + 103089514013331391433215389048a - 589488392620696752884480667448 )x^{18} + (-189811679838036098223959314656a^{2} + 264522041450117481611968049712a - 53274970984979233602004836448 )x^{17} + (23908591069981008962731900040a^{2} - 178187385601935690091150008752a + 486846483599290576604855448148 )x^{16} + (-192617092618587323054936185312a^{2} + 2560682226029698123868365760a + 83649118678745474897084232544 )x^{15} + (20440797841514527129235163472a^{2} + 230229073135265252650231192424a + 519819497252467649102731891072 )x^{14} + (76347039349336390063444677200a^{2} - 285462603168906705742550542448a - 278044636543984143111412426384 )x^{13} + (-123797128397447946107137485736a^{2} - 260901315826460148316199049736a + 413137543763444033279106822728 )x^{12} + (-256691856884148853002967810816a^{2} + 339390252651605481914508484800a + 580011945708652871134870603264 )x^{11} + (152456934204962398918971694872a^{2} + 354327363743639440686720447848a - 613957223345462629805961467024 )x^{10} + (-61103718874840154158468396864a^{2} + 351219254162923618339859945216a - 210062546189130989620609210560 )x^{9} + (-508217845157920475354542231464a^{2} - 342677300758190360212175421124a - 368624099705632966461819570784 )x^{8} + (-60441192800731638058692000448a^{2} - 174324883749198584121618130208a + 431650731045850164494566035968 )x^{7} + (258525301562321198308072079808a^{2} + 306849390061218760537656260736a + 334870866686940750257745839040 )x^{6} + (402708273350388927107428336912a^{2} + 569277244008404904081423872320a + 215257786070153369887491414816 )x^{5} + (-78558290651915575666775931240a^{2} + 551819171287924304066461370392a - 553674535264775298647321488592 )x^{4} + (-617894299574940910390800446464a^{2} + 440234237175480702551416557184a - 195266152235038086474949225024 )x^{3} + (-397104110158650189643436047296a^{2} - 371825373911166671239043223952a + 525818253853691440030157331312 )x^{2} + (569895402051848491227401292896a^{2} - 103992957478674757162662339264a - 192759026157696839786086611936 )x + 82393265883057335376724664208a^{2} + 101308544651967351767635019872a - 403562197013969088093695472564 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary