← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.493368_526336_1019704.g

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-158334854303112013888211620954a^{2} + 148887752389098467174429495251a + 65859993455746845017584988184)\mu_3 + (215769129829198056193103708214a^{2} + 56030685696594453748496155945a - 272892461432959903925974933532))b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + (a^{2} + a + 2)\mu_3b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b - 3\mu_3 + 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (-a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2)))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((4a + 2)\mu_3 - 2a - 2))c + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + 4a\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (224706388846822411512455329256a^{2} + 338408124400652759915856587872a + 542389326009738678333861532272 )x^{47} + (-387130655604735431986149567556a^{2} + 474264122189115740385054194712a - 411435104768313469635020430600 )x^{46} + (-391860268714489082498937444624a^{2} - 483825962771713074233845412432a - 112019011173560667121644653584 )x^{45} + (366806950704161077911623380204a^{2} - 293495473923870128588556602056a + 277921871814576812879973310328 )x^{44} + (-77272650143735701110891124032a^{2} - 337225499341702605466431209648a + 335377872196802716796813713616 )x^{43} + (612286801372014916902261157576a^{2} + 335343150556521142759561356896a + 305132728024483847746387716124 )x^{42} + (370750683520006814808623844136a^{2} - 69045058608611235780549896728a + 522965796607181664626754650440 )x^{41} + (-308317829016142962513067551988a^{2} + 119119940956575749963534862420a - 597979913638192687072525712488 )x^{40} + (-309610629987936011202326722560a^{2} - 352123047621256705385626755280a - 74815564857842846988909736848 )x^{39} + (264833738182379961150145326200a^{2} + 337609092059021607719725528432a - 133007382165674594640842240760 )x^{38} + (-283909053255313445423292996528a^{2} + 346868085000656605546801698720a + 111279002831119001571402633224 )x^{37} + (-241386975578644119205314173664a^{2} + 191766370078043869545168909672a - 413242514026598809997323492132 )x^{36} + (-320684920093074528003132550384a^{2} - 152231943922227466775523505776a - 159879071708592426970811351008 )x^{35} + (-356481232020894463474722819876a^{2} - 469555556947147139554974552412a - 374249849166715574150615924864 )x^{34} + (-379290077098201271108395467776a^{2} + 522847911655815401511461806464a - 82643359054863846403581092736 )x^{33} + (455704242048808259522003140228a^{2} + 226625372357962873867496116558a + 220764073768821466937500339636 )x^{32} + (497552708567619729460518112608a^{2} + 331608695124732840298012693072a + 354199327995402583339923650624 )x^{31} + (107713626829088712194245885032a^{2} - 108095696897211464605319427640a + 133910827262198652490713626760 )x^{30} + (309621880082060223474642407608a^{2} - 289997281310061519197304643992a - 379008823619333950778140850880 )x^{29} + (-570320599550697808349416147324a^{2} - 382331413631411378739726053100a + 394684676446321716120930053680 )x^{28} + (-275505431530489475462604598624a^{2} + 596604363406966627625538780736a + 228517749141613517568603455616 )x^{27} + (-449534962593192334162785201304a^{2} - 593407055849349186078744103432a - 488512238592603948229798614080 )x^{26} + (-557412987429296472356034870912a^{2} + 173744836454075375337090814960a - 547326696336342228332072092416 )x^{25} + (-581844519159082294513296696480a^{2} + 591517726461285373553637046256a + 208965046143412108326058715808 )x^{24} + (420914802427414887994044686192a^{2} - 466227085606675893633840791216a + 315860666001887454864166929888 )x^{23} + (22564936829147566436193431048a^{2} - 201351031849626083250180533296a - 210952467709081166135118179280 )x^{22} + (471302473254662056700358532784a^{2} - 103186501386387607063598011120a - 309204288827922130161662508016 )x^{21} + (419771561750934703931136396792a^{2} - 23570261194715177542410206112a - 27393776520406130047470504344 )x^{20} + (398005069789924994903321975456a^{2} + 314604946583470574998529015648a - 388526362854887463090307980224 )x^{19} + (-107133640538140132113294840760a^{2} - 272941081507028461242732390312a - 130781518258837007339104690600 )x^{18} + (-42310027024930984627336969936a^{2} - 298751641891537727043914360768a - 4699140038907592475308125568 )x^{17} + (-231738963134806208539088739064a^{2} - 192223268978810580196765938936a + 169204224015135382079821762660 )x^{16} + (-241686003963452367199460487712a^{2} + 160406138231196210482398094400a - 218697930855138348325874392288 )x^{15} + (605024977075474992926053506064a^{2} + 133958314107663029557071703592a + 417800903994087223982815936608 )x^{14} + (-407025101689759762982078033456a^{2} + 38408853774336551485783677808a - 11030196080013242428010115504 )x^{13} + (-297197873820314838981606897384a^{2} - 421382291749424030781835450200a + 373177786440739519256161656632 )x^{12} + (-491882773247266943178341159264a^{2} - 504834562134391058288890450368a - 598980058311463660908831865888 )x^{11} + (-105555164649863728826238833592a^{2} + 265959061215037015471322539768a - 574698857546117775006775562640 )x^{10} + (-405890159246567782150448596288a^{2} + 474476050760600767290956924896a + 242564239612958397621408014624 )x^{9} + (149841282102485511883042750872a^{2} + 410826285231304701431668060796a - 414208951192161334303088376368 )x^{8} + (195313859410836558651741320064a^{2} + 471379355587732237535706662176a - 454191638186393934003026413440 )x^{7} + (86870018516002144790428826048a^{2} + 166225350303482721873696657760a + 107488609774717044622579726624 )x^{6} + (-175225022129631392330342954032a^{2} + 193323094215911524345205129248a - 545049175418814839804298469088 )x^{5} + (-159354687768203627417214377016a^{2} - 276052116989310728328913715352a + 360710931656213887857093367024 )x^{4} + (-206810713508954078267317015872a^{2} + 290502018128292352820719989952a - 625630769548049694846008249536 )x^{3} + (-14449011344506187459462697216a^{2} + 510622643797355129039574170032a - 416631574782067516418394271664 )x^{2} + (109621882364410058249307566656a^{2} - 574869411778799953359714137856a + 178582718596470399145634090720 )x - 75431404044206374764107865024a^{2} - 211411738723519807606909837984a + 16753175425251561558370934444 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary