← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.493368_526336_1019704.f

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-158334854303112013888211620954a^{2} + 148887752389098467174429495251a + 65859993455746845017584988184)\mu_3 + (215769129829198056193103708214a^{2} + 56030685696594453748496155945a - 272892461432959903925974933532))b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + (a^{2} + a + 2)\mu_3b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b - 3\mu_3 + 2a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (-a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2)))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((4a + 2)\mu_3 - 2a - 2))c + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + 4a\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (224706388846822411512455329256a^{2} + 338408124400652759915856587872a + 542389326009738678333861532272 )x^{47} + (-30493954454623667763136638788a^{2} + 523043759362339460262712231904a + 107398028634410912491932657808 )x^{46} + (227909252802430699218577373120a^{2} - 88687599573998800578887926048a - 40088379759944806990468684176 )x^{45} + (143348694626918574869587695964a^{2} - 187638969600621785657839952000a + 431220936989275493138236895568 )x^{44} + (626069121982474171018396144368a^{2} + 475688161073072696582678854880a - 390940804178985356164984080192 )x^{43} + (-410733216067878372694797282688a^{2} + 53922740995272261524495269488a - 363597614668400915255516631628 )x^{42} + (-159474537802458438863778430120a^{2} + 185320466732414372616589184656a + 476054489772016555675849098888 )x^{41} + (421886489417181900425127687936a^{2} + 292996372872400640364609851488a + 149176488105944148922684285724 )x^{40} + (423033626153676773991090588672a^{2} - 441864879403334832506261212176a - 265366287274358698684662845136 )x^{39} + (324339275299236373469655976144a^{2} + 7624200233880663763443049744a - 463606257668401536582239840632 )x^{38} + (458983065588603580836170846320a^{2} - 107619352969912184974312137600a + 354073469186079206059241138472 )x^{37} + (-122052034690931067155900659768a^{2} - 221281300200407081136214013544a - 580203850506518024154019449188 )x^{36} + (279623465432349250874964836416a^{2} + 26047676494941537368676353376a + 233656894416939130554079856496 )x^{35} + (598531214127956169456591174876a^{2} - 225057563724970588252743959188a - 65307706928918284877096734352 )x^{34} + (-532540288581817834777585909024a^{2} + 268240902774971887840928658992a - 42633324582506562007002813872 )x^{33} + (-127564274487021182224163858648a^{2} - 130523163132356229213559018146a + 253363207008854289921596112356 )x^{32} + (148726588463105196576512508672a^{2} - 544834854683290639361613353232a - 332540040146236879319829924800 )x^{31} + (66631046862382838418859723416a^{2} + 405992217074351692940091773576a + 433099764231838059452612191720 )x^{30} + (221720328320466064945644086744a^{2} + 529467953410664608284862790344a + 383044412057220265585420284768 )x^{29} + (506541481666024641308633201092a^{2} - 268721640913286079888114011012a + 362245449502984988992913381736 )x^{28} + (-363934281908676532295426201024a^{2} - 93668095590680531406507013600a + 387570031279846682462043725440 )x^{27} + (-510618284683275009764725266576a^{2} + 187975639837746814991320105648a + 418425258613126340253037694120 )x^{26} + (-266207849907761126367691887600a^{2} - 97844127603866919578160587472a - 63680850632300071536620716192 )x^{25} + (-583723158707296078509010554840a^{2} - 385408665538155904441298596984a - 327374360768692237842993142552 )x^{24} + (140530161194620869816555632a^{2} - 218788081784441991138543787792a - 538212898882245039117327553152 )x^{23} + (-237361725248194942298134676696a^{2} - 349555695282292126244702904096a + 494056663623332533266085688560 )x^{22} + (-191865070636302366524805052912a^{2} + 446847479506663962435876877008a + 180189901737653010806400518640 )x^{21} + (-44883158893370860267423167424a^{2} - 630365320831911864397633323568a + 304304230688056082300192157496 )x^{20} + (-609029854665302065728366047328a^{2} + 197453397275306274772900579328a + 528108651589338689343200971776 )x^{19} + (-226210740700373266863048661464a^{2} + 219791141091083786364549771656a - 614026034470307353498290212120 )x^{18} + (-563422494247528286145159620640a^{2} - 199611842890524562697332026496a - 105113800993994807145494461296 )x^{17} + (546153162723640714406954084944a^{2} + 439220513811526079447203100032a + 285838420384680303890467686956 )x^{16} + (434082025868880962554623372064a^{2} - 407799098293915071895038210368a + 211591304360760605223112139552 )x^{15} + (484058770753775670375199906896a^{2} - 408749988892163624622861917720a + 263158146881426117788598829536 )x^{14} + (145051356982536328575133794704a^{2} - 489985126720826692865063112528a - 426609223967058276366561048496 )x^{13} + (-72591750583624760566501609400a^{2} - 402499583853304171203735167832a + 234264643698304271464997989704 )x^{12} + (459403330422968149543207903328a^{2} + 273953245759808508878665614048a + 122162339123446935825805347328 )x^{11} + (-99611794406643196202017808616a^{2} - 170616280315073950281286253192a + 521698288828460556559241264992 )x^{10} + (-59187084895397617022704203616a^{2} + 152723796063435555250858952384a + 240711297749192596432630628032 )x^{9} + (-294725848280384958336856835528a^{2} + 58838019272319174351635523964a + 193942757844966559960164744400 )x^{8} + (70417073102514506940844096768a^{2} + 123613308121409408508738316896a - 631672838689533678544526060928 )x^{7} + (-97299959391136473506971638720a^{2} - 116805904482686761194063334560a + 252991847823040669176562476608 )x^{6} + (11976201918773559014144613936a^{2} + 248436717197740845041123066624a + 521031973317972233954357534272 )x^{5} + (-178750736666111341400753883368a^{2} - 419394754530443345722497822072a + 275083043321346060685414390672 )x^{4} + (-481875145694355204429180614208a^{2} - 532722249487480319993007918464a + 576363786394794061251712605312 )x^{3} + (-323522373669089685811849704128a^{2} - 295022123376163357597627650192a + 339869127411588593439530824496 )x^{2} + (631445519473633904595175221472a^{2} + 258797315284608118093945700704a - 40237273270877356761761575008 )x + 191630540587874404502941147088a^{2} - 79315567568307801372762653840a + 109183119441935818188256266060 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary