← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.493368_526336_1019704.e

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-158334854303112013888211620954a^{2} + 148887752389098467174429495251a + 65859993455746845017584988184)\mu_3 + (215769129829198056193103708214a^{2} + 56030685696594453748496155945a - 272892461432959903925974933532))b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + (a^{2} + a + 2)\mu_3b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b - 3\mu_3 + 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (-a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2)))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((4a + 2)\mu_3 - 2a - 2))c + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + 4a\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (224706388846822411512455329256a^{2} + 338408124400652759915856587872a + 542389326009738678333861532272 )x^{47} + (76791757914382664932541286468a^{2} - 395581233026827638449982098336a - 143090735972955022383305944000 )x^{46} + (575660002116252280377381869632a^{2} + 92270866778051727900299946352a - 113941129092617619475826824736 )x^{45} + (276388470586039430838038024580a^{2} + 533579229573473073089658132672a + 32685082658312878606333782672 )x^{44} + (-50078195720168688580098297520a^{2} - 481685353775768763862407107712a - 472148122426243785124455318256 )x^{43} + (274346629916546955198531462664a^{2} + 96668326018990543333581107000a + 516781632434676703822224462692 )x^{42} + (420699897133260655535145979808a^{2} - 555060200547132737883950459184a + 441690991675433684511461201904 )x^{41} + (-498561651254802873407811488032a^{2} + 192065616810207993917703560532a + 406716075626763042409946787140 )x^{40} + (465905920248485285234862263840a^{2} + 155831879391415988549149684624a - 372831369057784000602375887408 )x^{39} + (442294644495549573417262587048a^{2} + 470894631788900768787685774280a + 524864373887070348564484654096 )x^{38} + (-428853446875510003632803848400a^{2} + 156922407417879203835317430784a + 616273138509085926942967711720 )x^{37} + (-200059319909305129126788701928a^{2} - 606178675947012785163308119328a + 201880077148394695846775960284 )x^{36} + (-142768726690636834856135079968a^{2} - 505932914682152472124867208272a - 26525427883427863679511783600 )x^{35} + (477021460969339528470648616916a^{2} - 475701615323230640784660619604a + 229826503807430199885434522176 )x^{34} + (-287924266527352931112551570112a^{2} - 197660053764870178275389945088a - 86185733203444227294428182352 )x^{33} + (109787851847333500133172785892a^{2} - 71445620528471837686541257958a - 346707860627701860387025451168 )x^{32} + (615316007715692376616404204416a^{2} + 393607754231740091291661548592a - 549223126063580902741399871328 )x^{31} + (611655131500188046869113628184a^{2} - 401926359295865167089730535800a - 27167176345029765805399675256 )x^{30} + (-574303704074356653688554035912a^{2} - 36938217624112420426654485848a + 175440228917109210256670690048 )x^{29} + (-591557802847264550537086286404a^{2} + 332648814771576778109286437964a - 292293618384677265033211317992 )x^{28} + (422666977274693384542701775200a^{2} + 461298917058137475678377918112a + 177457984858408347861144047168 )x^{27} + (515730701179894441833813131552a^{2} + 615365111932438906038808675784a - 185720041066211363615740756176 )x^{26} + (-269442374074319122669094358704a^{2} + 185214410276459535083096279152a + 304045655201675503802897431984 )x^{25} + (-91998731213094908927997224056a^{2} + 354393689709721385125229131808a + 479465710525924010077108518760 )x^{24} + (537966238323099740845111218768a^{2} - 549849994172642765699245064656a - 214306124305158045768628216224 )x^{23} + (-492969708381464751921685634504a^{2} - 619568009603782698703563383264a + 99187237252341684322965105392 )x^{22} + (-522364554005594163750196871472a^{2} - 167365010452331146540557891664a + 59899491485319521586695716816 )x^{21} + (156404942758901462184692258664a^{2} + 398832976388285332102107022824a - 581006943437503698851625789824 )x^{20} + (507622313565216964910361070592a^{2} + 527276667772229300668315346720a - 115897600575884569515945708800 )x^{19} + (-185439351751022300311982397176a^{2} - 590339405445223122745438283064a - 214958947816461073457575786440 )x^{18} + (279129133812374674117346700688a^{2} - 38325605858814939532302881168a - 622598877401008713996742501616 )x^{17} + (-547431034461657762655908946352a^{2} - 74565516167163295417691841688a - 262774953468024718399879923908 )x^{16} + (448378839995383621486731699808a^{2} - 568064069448299534548671911104a + 212262271407546829810155670240 )x^{15} + (-296208457479310266759952224816a^{2} + 337715364381768703636792448872a - 560796953271449627111092818688 )x^{14} + (-130278219504235803974409361072a^{2} - 507290777713672889379775312816a + 470242817814850360293379083184 )x^{13} + (362377581045897959275045067304a^{2} - 510838522929307940048585714568a - 172434742031593542135426108712 )x^{12} + (-579690051320461794788285818496a^{2} + 208425367000290561317237688160a + 501989632166527857331740653024 )x^{11} + (-533103697777087214567027591064a^{2} + 601808445700485516676866890344a + 227731365150511441030088410944 )x^{10} + (286327274189023243574031640992a^{2} + 44417776330504200389140126624a - 342201633942792692472249076768 )x^{9} + (349564182769666553835384219448a^{2} + 549918329723079991510321806716a - 156916902182402209428607017312 )x^{8} + (-43896089016354846513956335936a^{2} - 172218691316788002305727453920a + 414604019386400651330241510272 )x^{7} + (79752989315995817477240993216a^{2} + 419025901759969202993991470656a + 469735417533742117558208502368 )x^{6} + (606665805450794853326818960880a^{2} - 294165801553417534055570829984a - 21197338173145758850503599488 )x^{5} + (-208997090835640974582059433016a^{2} + 417312634833910648741321997976a + 426318314824048814771167386576 )x^{4} + (-610836046738583557263327360640a^{2} - 208751956187591283824050021184a + 51434431011049584266913426688 )x^{3} + (95100535171073561209258902912a^{2} - 327805356782059334831640918576a - 27664656660843312904354056112 )x^{2} + (269412905011859790793956500096a^{2} - 145587079330239209490455511840a + 200771772654103068532217735200 )x - 532312778116337060993461216864a^{2} - 305286849914555085286330259792a + 503214371227377461955475973164 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary