← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.493368_526336_1019704.d

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-158334854303112013888211620954a^{2} + 148887752389098467174429495251a + 65859993455746845017584988184)\mu_3 + (215769129829198056193103708214a^{2} + 56030685696594453748496155945a - 272892461432959903925974933532))b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + (a^{2} + a + 2)\mu_3b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b - 3\mu_3 + 2a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (-a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2)))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((4a + 2)\mu_3 - 2a - 2))c + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + 4a\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (223649643620643381956240579520a^{2} - 281692794712123145736633408456a + 277394322754212532305276704560 )x^{47} + (469441841691462519761959974220a^{2} - 213509864348027269343467434260a + 176211236795379726610899375968 )x^{46} + (486137337324028905632060735592a^{2} + 34367846475333941096906920784a - 325491184439927058662981563080 )x^{45} + (-201233486800501482821765518628a^{2} + 222335499905200788739494841868a + 198591484529573322055331970520 )x^{44} + (576073708052326268838559299128a^{2} + 10306800696174683366891556904a + 132291588388374047091196956272 )x^{43} + (-171486175635489350797880598504a^{2} - 233225361871484165763430376104a - 147474610700971105654608281188 )x^{42} + (-361987417849089615452295092112a^{2} - 613722414715435562132906662800a - 114603395995212081744885600128 )x^{41} + (-308960427717449693891107168564a^{2} + 321214803898436519148388642900a + 444369990644272688939210245700 )x^{40} + (-183709453393813405382100038560a^{2} - 563342760959415476160928835552a + 59342827047309667610159427504 )x^{39} + (322909169201126299141808597208a^{2} + 36110501735033781859538191836a - 206161775461738079688587807360 )x^{38} + (590744851769372980840055963176a^{2} + 353245367129877223036897293728a + 124705562874240847997024169440 )x^{37} + (194170676248737773580304520712a^{2} - 372496521176125998798286797776a + 423887544026648745314973383988 )x^{36} + (310962748442655180117118629904a^{2} + 341948521954731077460530633488a + 410344806758678880284931062544 )x^{35} + (432280345699761537352878393884a^{2} + 217767889444571439143988766836a + 220232156879179340738250987872 )x^{34} + (320820708717427532569393069456a^{2} - 435331038135705340631867150544a - 483564489383460136520736220296 )x^{33} + (192480212988840407119469686276a^{2} - 194679102626858938822502455922a - 427693248345079998257557772168 )x^{32} + (623754231217166697521260321360a^{2} + 533589954547086456985025021040a + 104130608702304086163304949696 )x^{31} + (421130559943170338616656899496a^{2} - 165099125303176619898807381048a - 48181613832258733472997618312 )x^{30} + (610907492346991914713796488080a^{2} - 89478120813899451318065263048a - 120539572715253526886473766784 )x^{29} + (56189729537919225706549064924a^{2} + 166982141300651955497364297852a + 281223730818311026635267352816 )x^{28} + (-580045298741550376324019679440a^{2} + 478296630358391807919182674128a - 217432260650691382472360273376 )x^{27} + (-114542691087174748059791169504a^{2} + 52795821782988163519619515552a - 169419152233767458840824828048 )x^{26} + (579623641857063678265294003304a^{2} - 288570809727571315491203045928a - 409384903331905029380297323424 )x^{25} + (351914033001102983311371335128a^{2} + 185154156196433305574739565968a + 421737359023118954988533287036 )x^{24} + (-21607541028386963969205439552a^{2} + 357474168433022497360663664672a - 82715211494479475431251178816 )x^{23} + (-325552249747376470807599009864a^{2} - 519615152364044255549606798456a + 33107757400654443466694563184 )x^{22} + (-141695286762523971791768849792a^{2} + 135862242936000724233732773072a + 375420246095874203504500934480 )x^{21} + (302273584174063647708099767864a^{2} + 481721681005254287835949920712a - 632471811631929227199828907824 )x^{20} + (114149610941131551111176681168a^{2} - 291067302881922580121165701456a + 589294921172483977537552841824 )x^{19} + (-578470447555521952332220811864a^{2} - 179866006162972123010784438824a + 146623249829475809622191160808 )x^{18} + (-192045890008205175580101373728a^{2} - 520343651215911474903358918016a + 511082643692977898381024706672 )x^{17} + (-466737869542580958451204866504a^{2} + 283091257912611974555404779304a + 49732612653071086820286745100 )x^{16} + (266867405437074511193756465792a^{2} - 579520611952696801033893138208a - 578605714315420900842612367264 )x^{15} + (183060045833102932091331132768a^{2} + 183214297819402099579163597488a - 137086157654197783623548045856 )x^{14} + (-55454266375118888289041682608a^{2} + 95267829947851104436619974816a + 384779033268239578853361050496 )x^{13} + (-249246273946683107238738137448a^{2} - 362512781407600306334094034152a + 94404904264262046776371478248 )x^{12} + (481751678098996311434181576256a^{2} - 82391170056550825055669435232a - 513514854584922854595819336416 )x^{11} + (-117076098300608431527838228856a^{2} + 445309129872834316065433576728a + 81924293722385551874460370096 )x^{10} + (210698229585946025894569824336a^{2} + 295866242621474978634699932656a + 332800249302288751387910783152 )x^{9} + (-392254861265140086694874938352a^{2} + 450691355915934110001151654460a + 532809556422921393420996466480 )x^{8} + (57170142691369795251173733280a^{2} - 248829161323807822894728481312a - 528453931040693024544622285440 )x^{7} + (-73152970235007959774120952992a^{2} + 536965462994180864485018601120a + 65139438988624451612082263568 )x^{6} + (-582431541531638667531930208992a^{2} + 616614817963419926354403039040a + 613979576125992853796523261248 )x^{5} + (537467540870831277221621365288a^{2} + 417153609132867948390236825784a + 238057716586191819897811762048 )x^{4} + (-401714921932530229963822801344a^{2} - 121625963437002913338653957504a - 259937999353129203943856242752 )x^{3} + (-236914013653201823285737870752a^{2} + 519406080402168287718917718592a - 461443360851010270526210626800 )x^{2} + (-17352377592930437809005343792a^{2} + 456074254158180463437088126384a - 21539967263649214199830226848 )x + 69852161765630332053163292096a^{2} - 298425178494039077417163544720a - 97168979726515324887635085148 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary