← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.493368_526336_1019704.c

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-158334854303112013888211620954a^{2} + 148887752389098467174429495251a + 65859993455746845017584988184)\mu_3 + (215769129829198056193103708214a^{2} + 56030685696594453748496155945a - 272892461432959903925974933532))b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + (a^{2} + a + 2)\mu_3b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b - 3\mu_3 + 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (-a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2)))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((4a + 2)\mu_3 - 2a - 2))c + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + 4a\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (223649643620643381956240579520a^{2} - 281692794712123145736633408456a + 277394322754212532305276704560 )x^{47} + (447585507706061348449985699780a^{2} + 350133852148754765143707105868a + 141639161795957597428944058672 )x^{46} + (-229568981573976501526948187064a^{2} + 51793569524956090333197229216a + 261838542243551260180665020280 )x^{45} + (244585224039644722987677834956a^{2} + 514934231792655823833750988852a + 62771700085377667830544639080 )x^{44} + (-88657677294779086949263773432a^{2} + 61173581767343455838307278168a + 224190821692301299729705617552 )x^{43} + (-607377972580486634099969357176a^{2} - 532353414770447380102853562784a + 510222259450017927553126252396 )x^{42} + (178157948063720061136842655968a^{2} + 132870800449230557163036225288a - 260696229964468929180536687800 )x^{41} + (-124568521116840066785809299052a^{2} - 608646352565328017227845633352a + 297726738213168095774634755356 )x^{40} + (298346595650154532876266440864a^{2} - 164048429621001226572101424064a - 408697243432703967127964865616 )x^{39} + (-296900647111053509545205804232a^{2} - 107740750006946182771065965700a - 631079298129208514172812399888 )x^{38} + (172381022913049726643852513864a^{2} - 409252083180979981386720841440a + 614997065773242195752235310160 )x^{37} + (476964074152792914170517182328a^{2} - 2612112175957829295186150712a - 92931548845319564676186042780 )x^{36} + (249646271145627273257696889648a^{2} + 97922822112479279564061457168a - 203626017685352230529016326768 )x^{35} + (587565538038660816330467598612a^{2} + 445219043848648986137522119612a + 84091941476596794523816813368 )x^{34} + (221370335972808222743691148912a^{2} - 493359718517134359227099077120a - 87240609879695468274990664520 )x^{33} + (126607163047559748030348678544a^{2} + 538784479879701629600461267426a + 361185058935327414175674798660 )x^{32} + (208221317263661184861358360400a^{2} + 459546119723358561132854898320a + 235885760565763374460343617440 )x^{31} + (-27475554942645405722082548088a^{2} + 536956433086361570621036406632a + 535196545973021539393348253800 )x^{30} + (44251436634377150432886429840a^{2} - 130137428806027606190777982312a - 227019861769553917796382418624 )x^{29} + (149149342464885995958780114460a^{2} + 269339705663985714082811470252a + 506691675985622208613619987784 )x^{28} + (-198479668517854271661009232304a^{2} + 503849771405584666976620341520a + 172839701856014300358997063488 )x^{27} + (285026008241787149384370291824a^{2} + 497631203647946683171021199776a + 357718259469643663567669029104 )x^{26} + (-231236630871735632829741650872a^{2} - 528829479899756450217876641768a + 278772242831108018244952351552 )x^{25} + (626979979421266873323770625656a^{2} + 467689898979402519072835569408a + 487780968924188492638505189388 )x^{24} + (177719046382808244538995855712a^{2} - 106319522948747824756301538432a + 241750443499570612100461387936 )x^{23} + (-196459355137085676728856683496a^{2} - 561083859087512725916557512232a + 15358777795592360480289478944 )x^{22} + (259289916419225925198065457280a^{2} + 368079642099619458067095153104a - 105233568275040519342349605136 )x^{21} + (-150852309894545545439388613168a^{2} - 361112797670633535061500947728a - 587617386083383264929597994632 )x^{20} + (74192197703682685912635200880a^{2} + 599686815497750891089922636336a - 593849238770892767930746578784 )x^{19} + (352607210837737471351535236808a^{2} + 314376086656438948366221483032a + 607829986838738813266783286584 )x^{18} + (-413586661176605258996984981760a^{2} + 504742538925052701835930842240a + 131404362173405152257449317712 )x^{17} + (372997576077147999960128789656a^{2} + 60125484976123268813752945280a - 21325786606962335942588785588 )x^{16} + (55755468538324179320029328064a^{2} + 202795450831260661039106633376a - 519046932449543283147710298144 )x^{15} + (-306144617008699960781961410720a^{2} - 15076803516584450213942661744a + 547733844359908719633432466080 )x^{14} + (-274188937834331952593179319472a^{2} - 271918263763806400761541805920a + 387371417513315139014399381216 )x^{13} + (605553752772658067354408314424a^{2} - 346865985662639721167161587832a - 260051430626573489459853549464 )x^{12} + (22381178983715250424471697056a^{2} - 532315566474655803148874886272a + 571793526442915554865687973696 )x^{11} + (-69583258453235497423184662536a^{2} - 301060669555493254666785142984a + 101049716378442336268594846688 )x^{10} + (-465398396225231471722319204080a^{2} - 359164918566114340546631542288a + 237011454752197961476052061616 )x^{9} + (31135904172648936466881945056a^{2} - 211801624647419642485317115524a - 71634919988306317025973778496 )x^{8} + (-109188727905178171733091844000a^{2} - 106004284724425030142493091872a - 67313597447947721297620313280 )x^{7} + (-472865717025890353658635560064a^{2} - 147938126234385788744087875072a - 451555877681549732823516368272 )x^{6} + (-163487723560477949667189320128a^{2} + 427152132971431903573392877216a - 266064299811871979279823922208 )x^{5} + (-40152317050999927720298009336a^{2} + 631777534968256723742077940808a - 464089852939288853429794537072 )x^{4} + (372775503128436704393410966464a^{2} - 78334868248962224526619245120a - 448323005031755649411493550720 )x^{3} + (-630516105541766960166850572096a^{2} + 260065757051109796886412226352a + 340098815606500197906462352672 )x^{2} + (546530010215130004039421272400a^{2} - 563469190046644250464519589040a - 461990429004501145148282952032 )x + 4842726282793281007706218112a^{2} - 110585095755402634923868465776a + 263262055812188050209090908292 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary