← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.493368_526336_1019704.b

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-158334854303112013888211620954a^{2} + 148887752389098467174429495251a + 65859993455746845017584988184)\mu_3 + (215769129829198056193103708214a^{2} + 56030685696594453748496155945a - 272892461432959903925974933532))b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + (a^{2} + a + 2)\mu_3b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b - 3\mu_3 + 2a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (-a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2)))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((4a + 2)\mu_3 - 2a - 2))c + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + 4a\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (223649643620643381956240579520a^{2} - 281692794712123145736633408456a + 277394322754212532305276704560 )x^{47} + (20338221944333691238257017508a^{2} - 216065968415026456610025669500a - 585908390172376584283276598120 )x^{46} + (-124675318186986801849175263656a^{2} - 416248518198135651793325330304a + 601534499987888423053554014360 )x^{45} + (-469678179205379138730231777932a^{2} + 29504886381252419915196143708a - 230071766351785402227792822416 )x^{44} + (-571177586778675077743868716232a^{2} + 189960259068402693449699023832a - 525737844744269433163357440592 )x^{43} + (379734170516419205519742583344a^{2} - 549643418522003297034416667504a - 120204342793120264635498370548 )x^{42} + (-397386603414450169420340988120a^{2} - 492621981748138977286683259456a + 204987986172910375603479069776 )x^{41} + (-152970300697284050111167007384a^{2} - 234893288916209816130704572356a + 414794293726164048329067151816 )x^{40} + (-187898465823842771551116711296a^{2} - 221976086800804232971179931360a + 220953016450016745985278322352 )x^{39} + (-89974185519327067358166042216a^{2} - 596948955864489365620433280164a + 360383745922226154774872846944 )x^{38} + (278778583281107427398808581896a^{2} - 340665244892849706490551873696a + 30898342088668842695535510848 )x^{37} + (-466853618531295878204831705920a^{2} - 15835822132985517381347956856a - 526002961457624692877280361724 )x^{36} + (375183912883772911870717431824a^{2} - 388832561143686755283646999664a + 179514735439844625169137369584 )x^{35} + (-60664833057382495929007962580a^{2} - 532761981894411341882923015620a - 91594999623750855257340415952 )x^{34} + (294964586047546313892417806976a^{2} + 557604601232636862399634349952a + 235138242902883105815166416312 )x^{33} + (-607574172325006716442997695236a^{2} + 346289230630437539828760141290a + 436163160868454131107663441468 )x^{32} + (13221102604638572414464175600a^{2} - 334442799113084821543530110480a - 550803509183956410215173841248 )x^{31} + (-196018391000852368894263679192a^{2} - 371008922347114630595154976296a - 208723765894080230783629756120 )x^{30} + (-508131455488107619643890325520a^{2} + 445057964054215820809633606776a + 525531437065045213122009047712 )x^{29} + (351187633093737224687240040476a^{2} - 461853821340325114415069214004a + 191298876859124072892576379752 )x^{28} + (-486047072887191906069850148688a^{2} + 575212281417826894470662123344a + 187918797297802981863628736032 )x^{27} + (-402285746058799350400736949680a^{2} + 276022568147277098248229705456a - 570965730054743839025550224112 )x^{26} + (184840822857578650824962638760a^{2} + 84015071053922583897586474392a - 627042741548759281950982768320 )x^{25} + (630520099768465985762140313960a^{2} - 614475275789359860536665346056a + 43479990203876267851051553412 )x^{24} + (-537516323219336970504706955328a^{2} - 235570525956948708965634435264a - 383945625268755928823404423712 )x^{23} + (-607475178345635266018032034776a^{2} - 61662958016169719112021184792a + 236392311291719909049658221280 )x^{22} + (-566056230190723819658250440128a^{2} - 263519075616936722449267841744a + 526600199603995850319730751408 )x^{21} + (-30716628224600965706603559128a^{2} + 52632795384991964360777285792a - 452150717569788933855934684056 )x^{20} + (404072452192959902434180259248a^{2} + 319420166633570795685032638480a - 415058894705052029316924513920 )x^{19} + (615426894133800665545156414584a^{2} + 91827150582968617338015812472a + 8427205611999407409032138712 )x^{18} + (-582341536400910286495742388256a^{2} - 293859204277083431755568541184a - 396668256428571991163590232048 )x^{17} + (360682467286006661433632067584a^{2} - 29612646401591515617421220264a - 518148352800219914268835167324 )x^{16} + (-518090891074909996100888812544a^{2} + 599043469376812356308859932896a + 201875844691404799161669157024 )x^{15} + (314953221048796460149859135648a^{2} + 317070945039310611725868409520a - 172167459660652721574847011264 )x^{14} + (23472027995927579721790602000a^{2} + 622708900254276224280452660832a - 620276223121926203153079285728 )x^{13} + (414624297691678527982932782904a^{2} - 134995490440738991248317198056a + 46355879814542676510270822296 )x^{12} + (-394080114977355896594054907328a^{2} - 514716142749966503485556478720a - 281256965035181222247613122496 )x^{11} + (-570675170501536785257767006312a^{2} + 302105090528113774239257641256a - 125353403674533921143045303008 )x^{10} + (42686515742223159187096933872a^{2} + 369165535758215120777485997360a - 617655211608410813780021589264 )x^{9} + (579819274941891831631214442912a^{2} - 1592102511841245502186335412a - 48530919233187188021655304160 )x^{8} + (209424472680432610351685626976a^{2} - 437222919451257896513411047776a - 308864132388129660383169215744 )x^{7} + (-217107182655468020159929603488a^{2} - 257105317459434408220364006048a - 564717996637961234375613940624 )x^{6} + (-494086518451937782216966478304a^{2} + 47483222777070335723590702368a + 223390935094791036683661926240 )x^{5} + (608318941675345736237728817624a^{2} + 211729683114987714934298207224a - 383446688208521984778106740224 )x^{4} + (-540917886331612577842593962304a^{2} + 140451305746001000118459181120a - 302132366570265498402741123328 )x^{3} + (351851818986484645762123426320a^{2} - 581554554045350133501251324896a - 437387858432211049870763161552 )x^{2} + (26557165421689849134588346864a^{2} - 629640754589271406226867556240a + 473178751452012046133600749632 )x + 214331458205704320679491944544a^{2} - 247965203279166741328309559440a - 163218563234063816788140007708 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary