← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.493368_526336_1019704.a

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-158334854303112013888211620954a^{2} + 148887752389098467174429495251a + 65859993455746845017584988184)\mu_3 + (215769129829198056193103708214a^{2} + 56030685696594453748496155945a - 272892461432959903925974933532))b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + (a^{2} + a + 2)\mu_3b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b - 3\mu_3 + 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (-a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2)))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((4a + 2)\mu_3 - 2a - 2))c + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + 4a\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (223649643620643381956240579520a^{2} - 281692794712123145736633408456a + 277394322754212532305276704560 )x^{47} + (-609257611713201822006126782868a^{2} + 58304436133256430879145148964a + 410770092915291355036226821272 )x^{46} + (628397822489010476066089849048a^{2} - 345919448810179002975948053520a - 529145485630710533009631884104 )x^{45} + (-156859956280562371537641466172a^{2} + 251353441416639562048929141604a - 414666400496193158819285757984 )x^{44} + (402344562866636816899554639080a^{2} - 314873562285369359216714080760a - 401946044180088025973083665040 )x^{43} + (294880309564385754282085909232a^{2} - 39181911246658451404140962968a + 312979647268143862786812040668 )x^{42} + (572826701469455121838219928136a^{2} - 465889929525000840255048501256a + 276774781948126464402700073640 )x^{41} + (613552336420274907821887555920a^{2} + 387193043986144848748350867672a - 504259420644927452113930409440 )x^{40} + (277120770398015152323417707392a^{2} + 531105123409726554976663600320a - 136546725290255745908626132432 )x^{39} + (427161787169052971505299285048a^{2} + 451171838668626052509988585660a - 152614948612148372082384622864 )x^{38} + (125064843054031736116043432552a^{2} - 328229528022360123875270762624a - 362449140915411619885733220656 )x^{37} + (-84178445313129929876344644960a^{2} + 611698657222312332713795030160a + 74557041951712507677974613732 )x^{36} + (248419006275201190062422029168a^{2} - 496903521758590097860627494640a - 385354624567660504080603373072 )x^{35} + (178617041519129604020657809348a^{2} + 63447095216280336958521265348a - 174156967270289792998102512488 )x^{34} + (358523413570502767434575818560a^{2} + 110073345799086231700381076880a + 5804805974077962502470093976 )x^{33} + (86598552568642529440766293632a^{2} + 477903090455457797799841230078a - 354660101060778263792211134280 )x^{32} + (616004235492425732254379796720a^{2} + 374787482714977412878260037712a + 314692927687810315046611781504 )x^{31} + (255537139590243510453706014856a^{2} - 546091414524265036121355630248a - 88794539897292722092259437128 )x^{30} + (544610862768197493338326185840a^{2} + 287378305439746504392076229080a + 66878079567308427635224415200 )x^{29} + (450514022254258358422629915500a^{2} + 527291928639669853956942838236a + 19529273558577220591133323632 )x^{28} + (526498749436408836766210671056a^{2} + 595461311971488634388812815056a - 139397235528439595224038005248 )x^{27} + (332614229088981091193522312352a^{2} - 500266558568463178544272078000a + 443042146579999275071358164304 )x^{26} + (119378254205410839482814019560a^{2} - 589103256021353963432090223368a + 179629058104723864485728753696 )x^{25} + (-160883737635491536146699495960a^{2} + 63629901202909402196281631208a + 269478487176443429523863622996 )x^{24} + (-551801367745601520934753281888a^{2} + 167136761222145874571467079968a + 522404118595893237228437714368 )x^{23} + (547543857755360207070420096616a^{2} + 369190135473191035472741480344a - 621680935355537995081297650672 )x^{22} + (-78495689611893529727048668224a^{2} + 291933333017019082796264818544a - 471297350405562107025141513584 )x^{21} + (-350576335676118001755645683360a^{2} + 550957028974602537688692154920a - 275162945306984832010588609584 )x^{20} + (215020763698224409115667710288a^{2} + 494086182595090765412207147536a + 157043023071490990435164293696 )x^{19} + (-461421913425178259870346674792a^{2} + 251420922631643980468388220824a - 239514872401159408211019920120 )x^{18} + (424505660088558588750226771392a^{2} + 351991725348006099025776460256a - 49858350694394071011331629520 )x^{17} + (244739509881620186471184065024a^{2} - 108434937630124267285540647456a + 255879887220059916214137800068 )x^{16} + (-593358331670984095427796072896a^{2} + 354878257073551144500192451232a + 483621164453771042891675349280 )x^{15} + (405642691856943174609165480160a^{2} + 541623015672198980110927395728a - 175947932275927697188759730048 )x^{14} + (593014212790787406502592689040a^{2} - 475012384171539865099792152416a + 495355000643306483695754017152 )x^{13} + (-305472841114328048711422139144a^{2} + 14208072257202163498001255592a - 313377209302885287545789829064 )x^{12} + (31751716661415087785004877088a^{2} + 101844143606936827941312465632a - 568212473149640278721520171040 )x^{11} + (84400735271312268463709313832a^{2} + 561331589605209203322503456488a + 248260201645148161694081352848 )x^{10} + (279921321164909906805608007728a^{2} + 279560012875648292092000390128a + 489707152047439896451712997360 )x^{9} + (-228406562808022571306518530064a^{2} + 505160977554006214151802711180a + 508267690041617701532114575376 )x^{8} + (86337991071782469380135530528a^{2} + 473155805548500984696935957536a + 453238409053395363027987376576 )x^{7} + (443393796514727975296212639232a^{2} + 314281133278607829616841404544a - 498189142865404135740097908592 )x^{6} + (-67954577735505114847694868352a^{2} + 530968348278080644581228578880a - 576975478222870355716530048000 )x^{5} + (292829488585731923638288679608a^{2} - 325839382200157481547426252216a - 390174765762167035367719500144 )x^{4} + (23365656969313105750716745792a^{2} + 256936988325848897502523869312a + 170125898937996671408889245760 )x^{3} + (170606449219493821298490627728a^{2} + 516272800857346248268118368720a + 25601694897847840748537106272 )x^{2} + (-158063732478849008898194126544a^{2} + 236896510098345271583799652944a - 83063107825742544146119545792 )x - 67128235299211468321695952928a^{2} + 46455983046327225387525844816a + 476556207311336141969917342340 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary