← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.467674_548688_1015178.p

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((-205432106227520926213442248404a^{2} - 16452782769283644496864441708a - 250667757908192172230357679079)\mu_3 + (92267593981568774938804183168a^{2} - 143105336688018530182405998536a + 98694297071499484028028027006))b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 - 2a + 4)c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((-2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} + a - 2)\mu_3 - 3a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2)))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((3a^{2} + 3a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a + 1))c + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b + (2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} - a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (66237302477994769211617313816a^{2} - 108915860412759854289238002528a + 250941729930803771464417471248 )x^{47} + (597356367339279606636528109328a^{2} + 443848269839950658382905617028a - 474203887936429078395835708032 )x^{46} + (49521975133511156054924494880a^{2} + 68076229527396569480379080832a + 554933337218991742946707552 )x^{45} + (627258619064586172009607939592a^{2} - 190765813365833627985782758656a + 92265992704263061605334044592 )x^{44} + (-78891316353861434783248693472a^{2} - 137376445513431969912984567632a - 279408401598186573173969391584 )x^{43} + (343702666558943695008568529924a^{2} - 200785728445600687691358982460a - 587464685759377397262104569092 )x^{42} + (-298128071605268502840958707256a^{2} - 48397893502298965610695372768a - 391438211480972349404403673872 )x^{41} + (544890228274127633293729078048a^{2} - 566335453706963609663822761168a - 503341873891003498943675605800 )x^{40} + (-618340861735800785568035450608a^{2} - 499357045312001736324590286224a - 107297461083461772875665544096 )x^{39} + (541037709844693241001688373760a^{2} + 240974833795724207237714897680a - 614123542724771645051985556528 )x^{38} + (-523377025660570367039807884832a^{2} + 543752983863134780948265147504a - 417152949745286985928228934576 )x^{37} + (-491489166464326630142168077952a^{2} + 113628141791828192362885257620a - 479534602952356172029709640056 )x^{36} + (-121958536570841580088549416928a^{2} + 218537618426597076993566570912a - 403229622356069812839360842000 )x^{35} + (108979506012494368375300259760a^{2} - 481511840498956944029963102392a - 24143227834367102959419549412 )x^{34} + (235847926706661660819365575728a^{2} + 474077191757672414335010567032a - 423773774236820421977165475640 )x^{33} + (-271263793334975088423310822780a^{2} - 225270767558028850164229807058a + 417116646210343729247320295368 )x^{32} + (-180478024015109090962823394864a^{2} + 209883494485093714925493969104a - 143551874141113676280934391488 )x^{31} + (578868272090431376525605007608a^{2} - 277440316642792001979407137568a + 135001669946029817909451411632 )x^{30} + (-442513398232986148655262555088a^{2} + 543000227467550588253334197896a + 385644403701442140991707070904 )x^{29} + (137378305312755774495747429724a^{2} - 133459455595887840568896573500a - 235013196878105657826328703752 )x^{28} + (103322937425897449818471326224a^{2} - 459947722285350801247629953856a - 539606940257605030432445983344 )x^{27} + (169005009972546939223275037672a^{2} - 50178285821152918152986008544a - 625327793035240455708417365592 )x^{26} + (587538607684853131754363554352a^{2} - 505930298910176865660648388448a + 330516556874890828660756027072 )x^{25} + (324195468572510530676947788972a^{2} - 181406986846274696699333461300a - 186390798558292285683227538996 )x^{24} + (178057176897495573496523920128a^{2} - 533728091446917418038928730880a + 62041387676941873333122017168 )x^{23} + (-21542428523085523948121413120a^{2} + 531576151440313462797358729768a + 361132984371973659615844773904 )x^{22} + (406712407621819323608156395904a^{2} - 59811156935890561243808058880a + 173912403870681055392200640928 )x^{21} + (-235134066534854647792578739352a^{2} - 75268643331250018513109920560a - 393909648396701437075752494480 )x^{20} + (481683703683760859305320644672a^{2} - 307834215678375761894987061888a + 511025237652190215712654812576 )x^{19} + (-530767083136532868707209218232a^{2} - 561812687524956145771453343968a - 461063207304995634435208571976 )x^{18} + (-478134112399834138822326282208a^{2} - 570261313612299345830865831376a - 318620584998913514547122795088 )x^{17} + (-516630825201074463097183679140a^{2} + 460559088170247707884235595040a + 511021300113073461481393326088 )x^{16} + (539767047043441769776161582368a^{2} - 554982223541923021023603709152a - 397911245324363122619185575232 )x^{15} + (581551364925830373611981892712a^{2} + 218909913872458520031331771080a - 290278038353181352706176221232 )x^{14} + (-533190025654192560524469626208a^{2} - 386308029184214193915324988128a - 329828114085454913765215375472 )x^{13} + (208137302754948842205078145528a^{2} + 131650589560563648898383908384a - 423182738705857736386021982232 )x^{12} + (456471729877194724462538240672a^{2} + 238150187502890929627149139008a - 356143031826944252949740085632 )x^{11} + (308675206334595247314577332592a^{2} + 134364114550220487782454897520a + 346395288204706660457951377240 )x^{10} + (-592801176932819885763554939200a^{2} - 547773818169713791559223304656a + 470681435887654897393870149296 )x^{9} + (36466375276128178860947100976a^{2} + 139364242859441789005698801228a - 469743731585098800357463391416 )x^{8} + (150737670843255441019840919168a^{2} + 139255424038203683212158578912a - 404101938289008561237684659648 )x^{7} + (-618179251020805422632562426368a^{2} + 599215238639971601482669227168a + 132483109546485237872189599520 )x^{6} + (-187243655872571619104828409488a^{2} + 359446392741779373089543078224a + 591221221198898212824415533808 )x^{5} + (-212839245648107528056780058488a^{2} - 410556778402080934551122365544a + 153056239170882698304275846192 )x^{4} + (446196443957106890106615419808a^{2} - 596401402226466870443078909440a + 296915326102934000479133907232 )x^{3} + (400305050042899888083887920064a^{2} + 514703093600660717381063855104a - 306941160756448181086788701792 )x^{2} + (72889718814718111276820046528a^{2} - 259718418241786157703833002528a - 250594355009208078902696200928 )x + 289340906670159551850756670472a^{2} - 305329237565710603543426178792a - 160678846220977849421300467948 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary