← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.467674_548688_1015178.o

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((-205432106227520926213442248404a^{2} - 16452782769283644496864441708a - 250667757908192172230357679079)\mu_3 + (92267593981568774938804183168a^{2} - 143105336688018530182405998536a + 98694297071499484028028027006))b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 - 2a + 4)c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((-2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} + a - 2)\mu_3 - 3a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2)))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((3a^{2} + 3a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a + 1))c + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b + (2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} - a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (66237302477994769211617313816a^{2} - 108915860412759854289238002528a + 250941729930803771464417471248 )x^{47} + (-459934077715883922852310853424a^{2} + 425870629023801887524502033396a + 405515376025776643095637424184 )x^{46} + (193166344010819231394710691728a^{2} - 309764038191691241253857223168a + 171848579613531163094505532384 )x^{45} + (92571704547383202458961734944a^{2} + 7474848581173853386951064760a + 507282841066828890553875886760 )x^{44} + (-6992462982827624426700278368a^{2} + 317091915712381889546705544976a + 359802699692002961514215088656 )x^{43} + (402087931487943571389166002428a^{2} + 25543073499238751527856758396a - 480056690075720314994871847692 )x^{42} + (-632107502485238500174849518976a^{2} + 451092807963126057590320758360a - 402884577328775333150102864504 )x^{41} + (-293549134332849319256035989228a^{2} - 315319200509651117161996969604a - 580495988184928138107667173340 )x^{40} + (248735761997266875396805562480a^{2} - 423045473678670735389134820144a - 315266616386148920360894238848 )x^{39} + (368977876429666715269483869312a^{2} - 282916686103380258939303696760a - 470159182533294935531444259088 )x^{38} + (-561579155303715249142463531040a^{2} + 250512912343408916379234769200a + 173957916651521036192933348656 )x^{37} + (130863063626766501755497681640a^{2} - 516003920543252723935306792852a + 259764812365705950709947776232 )x^{36} + (263503390670277067473093498816a^{2} - 464725533080606689251106190256a + 335503589142681951291072026544 )x^{35} + (560492968041452355414687374664a^{2} + 163322720404779182056158123000a - 504635231078947847809178048124 )x^{34} + (-524172074926687655809314144176a^{2} + 457214676383759746949794985256a + 267283307181915068373387458344 )x^{33} + (-484899912726098179914481284168a^{2} + 31693100892224829941846498410a - 3380404094155043506546111300 )x^{32} + (480886051670477054848807952400a^{2} - 234822930467995879092497992688a + 326766764462630367439758870176 )x^{31} + (-72064998302439601469205693864a^{2} + 267027940414143494421708246928a + 517517987658830021231122211792 )x^{30} + (210607821185370287287362343280a^{2} + 289840768668594771279895111752a + 624065962063073561584523970584 )x^{29} + (155775529806100894898961973148a^{2} - 119619456739249662874347025524a + 246290460898227042106416582672 )x^{28} + (-573038520686104632211508360720a^{2} - 500928373075984159409016081344a + 409476798622416158425776661680 )x^{27} + (-179417909501169626706290940288a^{2} - 385419445940007064251225563456a - 125549174439800555445153865904 )x^{26} + (477134110685456692351461571616a^{2} + 322232807798099381778664335904a - 438382341423189460761583601696 )x^{25} + (608384972429799913606875121636a^{2} + 586780796073169709902937135036a + 604570842655055602604910797892 )x^{24} + (-329851550836518195772302762144a^{2} - 81822817279610047850182294080a - 255513735934429865488100010064 )x^{23} + (464841032092227024434677847904a^{2} + 551296404895010934645410125464a + 530730570667233233868729089648 )x^{22} + (147756562439579943902488740416a^{2} - 525444158072763700305594705440a - 292491158507017886086219199584 )x^{21} + (-365932371263597754250944693440a^{2} - 389179665030084466667363919616a + 445068654331409650600979643680 )x^{20} + (28224149130153582712840729056a^{2} + 365344465578373365161855877888a - 353039396598125813364115573888 )x^{19} + (-420236387683287483682455740104a^{2} + 17300549314325910704051915872a - 367856405063288579334500772920 )x^{18} + (116101944247775690408253147168a^{2} + 358792464111746976884581263056a + 43591095493010365250844448224 )x^{17} + (-112425886994389915635992754076a^{2} + 5004191992079636359761532152a + 115832857858567090560557960320 )x^{16} + (356239346142618105941287925728a^{2} - 617979534910846663482105404256a + 541631700205996345404373934016 )x^{15} + (-11470708949464456226351784440a^{2} - 459835877103439197272030409080a + 525821575191729253938738542576 )x^{14} + (-619441556426111558174548088416a^{2} + 272727838236393883092953049088a - 631606815613869453101910867120 )x^{13} + (458297043752381838023178167592a^{2} + 119900530956439040329124176224a + 482195415336977973476824867880 )x^{12} + (99878196314909805582341386848a^{2} + 525878361973527580024481292320a + 340619144660305757208204324128 )x^{11} + (538630693816755602032408368400a^{2} - 289015387946656282474090184416a - 41399342397469277309896885400 )x^{10} + (549729390172115580331004576576a^{2} + 435970628024810606692236529360a + 380540716099937760533556852368 )x^{9} + (-139580721456816918701019292496a^{2} + 128728665078591847328700200844a - 450755277544240648943965291368 )x^{8} + (-592828285376221154328315490944a^{2} - 447456667001354235622447234400a + 573720648327968009850679844992 )x^{7} + (551541795467529273764387199008a^{2} - 383407674093408501866105528160a + 514617955471065105675913285664 )x^{6} + (-153955356229457273599528798032a^{2} - 627650297095587585358356388976a + 285407384410859383071713996432 )x^{5} + (-550262192020669324039932401176a^{2} + 538416740892185956387769812056a - 192230324790886429172180511200 )x^{4} + (-317538715477985245379272518624a^{2} - 411217776281751056270044118784a + 247868236051102418962016893472 )x^{3} + (76072485770488946426744248992a^{2} + 83526301856011589090661409472a + 289943492258607098100778616704 )x^{2} + (415270073950092822748668545280a^{2} - 336082177469665973799609573856a - 401832731549688746871499174112 )x - 160841632291943474749312836632a^{2} + 443838688749430627362092863320a + 558319040204947927685181140532 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary