← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.467674_548688_1015178.n

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((-205432106227520926213442248404a^{2} - 16452782769283644496864441708a - 250667757908192172230357679079)\mu_3 + (92267593981568774938804183168a^{2} - 143105336688018530182405998536a + 98694297071499484028028027006))b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 - 2a + 4)c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((-2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} + a - 2)\mu_3 - 3a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2)))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((3a^{2} + 3a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a + 1))c + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b + (2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} - a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (66237302477994769211617313816a^{2} - 108915860412759854289238002528a + 250941729930803771464417471248 )x^{47} + (-103731368174287104538168739848a^{2} - 230062517796986980707005730180a + 584692613279640003797539260464 )x^{46} + (198527008868154020430895279024a^{2} - 364988943119663198515045504256a - 320573957438820597860496031728 )x^{45} + (309429103011300655121807201952a^{2} - 404021273415414899936298811400a - 15721476833637547134491221920 )x^{44} + (346928597239662130163527565552a^{2} + 465979862937761179166619547472a - 482250791147907121361699062096 )x^{43} + (226959198755515622551846387036a^{2} + 545054372963610110992169891796a + 366150255885712966568580437276 )x^{42} + (-435986327499916495157843979072a^{2} + 115469686338624339902113732848a + 66633737425306028454264174520 )x^{41} + (628567456214682757134125888332a^{2} + 90443402150047673711048209756a - 613978577899164004060381012208 )x^{40} + (377969713508887331781806965968a^{2} - 146396255441131821178371050160a - 40452435702772446934642391680 )x^{39} + (119299006785013012550474726864a^{2} + 318617248716650582408931036296a - 109235584919353159603921081592 )x^{38} + (-373134840875765119781098921824a^{2} - 409388011154534764122640647456a + 110105662680583951776664935040 )x^{37} + (-505211504388995621798724865504a^{2} + 296737805127367065128884196556a - 32392348660583319387991897392 )x^{36} + (17194041008484720916430064672a^{2} - 294205274329021790085157481216a - 493750568642328638389201479104 )x^{35} + (-178483024429030540992183933664a^{2} + 74602326791112937222623079872a - 307274311055483211226101087756 )x^{34} + (-90128394278917487904432649728a^{2} - 529785564595239368157554897576a - 114030674395056059034857600680 )x^{33} + (-507033197121682699804025134548a^{2} - 249478308766666557352853861978a - 386911482886660498540302548188 )x^{32} + (-381728011703402257392524976464a^{2} + 226038497973134854187770267280a - 40693216213634696034928782400 )x^{31} + (218683512568574729630475806824a^{2} - 439161341384418370785481836400a - 77253103627557094810386912656 )x^{30} + (-342508438397980670518994672240a^{2} - 308263876808215219184756291480a + 372805916338092644059318375512 )x^{29} + (165243278300096389793316446828a^{2} - 544575600143207344713610655420a - 429897368973530758676970611072 )x^{28} + (36752677252533273778883330960a^{2} - 476832651208147790989907019104a + 204502367553228973006080484464 )x^{27} + (512736549505968399058577530712a^{2} + 520755965650100481433142140512a + 534484792187582122335077646048 )x^{26} + (-477791330177274596270384882416a^{2} + 214972956252575380736463147600a - 211138446779515635171771446224 )x^{25} + (-604307036320532033197121978956a^{2} - 159860695710011348724265263996a + 487073395293937174708926380836 )x^{24} + (-87284534744112991504051896192a^{2} - 624126204339739507613237443424a - 309156329560722922257803363056 )x^{23} + (157836762563238659112275855696a^{2} - 622369428555385499141056295128a - 361447643234562773293534996304 )x^{22} + (506250182929441957429060535968a^{2} + 547654064949012146635541422976a - 504402898049248327310698953472 )x^{21} + (155358219168845125995046036920a^{2} + 145059965890197317039025866408a + 480863661321641457459486117232 )x^{20} + (220779494220131553829812484576a^{2} + 434321362530639562054304562688a - 556939492328940243080798426880 )x^{19} + (-175191403077295921898303403272a^{2} - 394199611520192384528186315584a + 429840313056926021707876697288 )x^{18} + (-133472311591820798381041906944a^{2} + 89989332576614833748379552544a + 63189085963266613902109008624 )x^{17} + (280731917598424992554935147924a^{2} + 522903124122667231730786296760a + 468054786218133439747975070040 )x^{16} + (564169921881320570767214364320a^{2} + 63074179311068593480514268320a + 237339203630089969791955838784 )x^{15} + (626373459736597809980140645256a^{2} + 289501673420083525675569171720a - 629170774751667167123505939600 )x^{14} + (-83298011247002864810807432672a^{2} + 589074614617285524822745475520a + 346783021002700743201858125808 )x^{13} + (531957062339472749867663306168a^{2} + 534613625683652520480364990656a - 140338576323542254702166113880 )x^{12} + (256395590971375520913044096704a^{2} + 403036658382179690665590064000a - 403033696495052342743427779264 )x^{11} + (-610520946984702997026602101408a^{2} + 354271454410466275346473963840a + 10120457263463854186692019448 )x^{10} + (-457628138028659899392873980736a^{2} + 416771662172938418926658658864a + 291509652348289308402691595856 )x^{9} + (-215138889551513895109699508240a^{2} + 547581935944548254589834506028a - 101951956138072215986160795544 )x^{8} + (-423676169829483388269237281856a^{2} + 487188188151239451334147864736a - 269187736876614301916960188288 )x^{7} + (188566608247683839624303920640a^{2} - 10263012376421146309296075296a + 221758286865045842886518267904 )x^{6} + (-329920287510230595770504895920a^{2} - 442022235875130321191359045552a + 270512453000853032960618118640 )x^{5} + (-532040501484228985907158427640a^{2} - 149903057920868583333347745784a + 203979681351370466455778898096 )x^{4} + (-17069659771210468408690741024a^{2} - 229902997132073018815329292800a + 615453201091827363460969880224 )x^{3} + (452478845686278303208323795328a^{2} + 481561367758832150215603862688a + 82486125123509119230814961408 )x^{2} + (494409743143475873901019529408a^{2} + 442386775850989380759633492768a - 189783822846374532084578342048 )x + 67214139874762444049265618840a^{2} + 293495673440931839967885743160a - 244932146414370201277773682060 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary