← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.467674_548688_1015178.m

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((-205432106227520926213442248404a^{2} - 16452782769283644496864441708a - 250667757908192172230357679079)\mu_3 + (92267593981568774938804183168a^{2} - 143105336688018530182405998536a + 98694297071499484028028027006))b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 - 2a + 4)c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((-2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} + a - 2)\mu_3 - 3a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2)))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((3a^{2} + 3a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a + 1))c + ((a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b + (2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} - a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (66237302477994769211617313816a^{2} - 108915860412759854289238002528a + 250941729930803771464417471248 )x^{47} + (85609481199885144212576086648a^{2} + 232033255789922031691689456860a - 565239995312494788429731746488 )x^{46} + (324654784129691401157972757152a^{2} - 608585015331257269602592274464a - 510890102598783062083887868752 )x^{45} + (480177311692656185301130207176a^{2} - 337036638843535014018486882976a + 517021370975167367856247930856 )x^{44} + (-151320911337956058800654647440a^{2} + 538762934157087427901174978480a - 147587326471888804123609463488 )x^{43} + (-224692822207949407575600985820a^{2} + 130362630829144887883679246012a + 521783566501227953440174259252 )x^{42} + (483418888226665624363957843816a^{2} + 593132190827850791293938589736a + 2487484204864798762263293136 )x^{41} + (-422984459532980008768834218472a^{2} + 257650904445665593890575336960a - 109536556887308850241862096772 )x^{40} + (488019240194596849469489579440a^{2} + 304934699386091570550385134064a + 531848346482288361581761172576 )x^{39} + (217795480109121064240234158304a^{2} + 545240565879917243550841001792a + 620306352759399591711299288648 )x^{38} + (-224157531029280256711579837408a^{2} - 598595275171135272265561442336a + 631784490548711064041906740896 )x^{37} + (-454236337667872528261898739080a^{2} + 543558452378277420259527568468a - 239126711671701905953577860656 )x^{36} + (270798396040555813312542531264a^{2} + 522105803023353411646423282448a - 18331382560824697967545767136 )x^{35} + (167541877185285034807400623720a^{2} - 219816049115217979115066845040a + 512852777386074971044581179964 )x^{34} + (-555143571774235816501865320512a^{2} - 295204047728773162681147719960a - 460244468166163526299712017768 )x^{33} + (-459900730560929530317330782704a^{2} + 285942954629199867803045409922a - 607460398409756992342697236384 )x^{32} + (-60572659271937466716880416976a^{2} - 453747141155064467346082504432a - 572343498075509430789781329440 )x^{31} + (-136504608293355742303129390616a^{2} + 273620858997149265334561452000a - 514046195805717259786461524048 )x^{30} + (-453692440102295534335386420400a^{2} - 122676164713750930897453579416a + 287993887476673879436742423288 )x^{29} + (527286867180328437494087598716a^{2} - 205076863892114468548786249860a - 293213472239530716359480949576 )x^{28} + (-4652731150061982291474371600a^{2} - 184722454985586966103113941024a - 601046915530641881894920411568 )x^{27} + (44222793805568225119577442448a^{2} - 572056095400675490163620194224a + 222401367532500818382244289528 )x^{26} + (401406867253615561729874114464a^{2} + 297644199995117834790231139280a - 162478283536618143353428025456 )x^{25} + (531308698450870869649170133180a^{2} + 208005895507282107350565540692a - 233914873099655140242899604836 )x^{24} + (572096919044725606681191085536a^{2} - 255407041562037049768442966368a - 217628730079448962040803256656 )x^{23} + (476854782749969539537163040336a^{2} + 99630628474419468133831131480a - 451662671578375311385961168336 )x^{22} + (-500432023895007124338396311008a^{2} + 376764544504238335575631796640a - 347837069074346742983957814208 )x^{21} + (224822793322990748847002642048a^{2} - 245904317338159318744996863048a + 472141090758677759566008929504 )x^{20} + (585315029201723391755650263936a^{2} - 479943891319886425709760262400a - 433699472037032185494611749856 )x^{19} + (624340452621489381132339874184a^{2} - 98103082148384161294832191392a + 83555852923149758196266318072 )x^{18} + (-212378257362282940508035058432a^{2} - 200957551632343193054161105632a + 295188831409766107219773598272 )x^{17} + (146672650474506645972475130748a^{2} - 249798990968533457727754497728a - 492189116794084706166219567248 )x^{16} + (-63803703879208323120764374944a^{2} + 607654774321631752780102524320a - 368418179629517610117857506624 )x^{15} + (-626646330236210114545736188440a^{2} + 338044311127402399610125973576a + 623860973089103449535243737104 )x^{14} + (-77396951773200378169573777824a^{2} - 345660399556787347865576610016a + 281827485633089338405649137840 )x^{13} + (214565441992300282108366390216a^{2} - 356996668429486272554679846848a - 165662833795579574907744998296 )x^{12} + (364275997165441886367208907776a^{2} + 52146827920287708075728019488a + 134858786685924635127485707936 )x^{11} + (451701881476330605818080438368a^{2} + 241460737625999110259660972336a - 224296482577972228602398114328 )x^{10} + (-604805444587539224183873168640a^{2} + 601911119328750226780117933072a + 541952199823976515722500209840 )x^{9} + (-226939722237456399950877758672a^{2} - 362123450711459779368691302068a + 498452838817324513336953509784 )x^{8} + (-386018559000903576508611964480a^{2} - 160602672643510671957733491616a + 382640462162627896051562657472 )x^{7} + (334192541427950420818071540512a^{2} + 119041637654819926598250419488a + 310240388443533897654460228928 )x^{6} + (-312448716895520302647343641456a^{2} - 114611763242661925140704289968a + 400189723667279361736773591824 )x^{5} + (-119054531253544559586714716024a^{2} - 624892973805116751166070935576a - 16656411639929883887714484736 )x^{4} + (-327326201332561737786448086816a^{2} + 311058102149830477730545154048a + 174449386234216074561667353248 )x^{3} + (132997733076154780887944790176a^{2} - 380213961170822695208016163680a - 245721231661860181788714993344 )x^{2} + (-223388623728093523500079672128a^{2} + 160593130241332811620239749920a - 241427766895700974657287358560 )x - 322540849350113272141740639688a^{2} + 236573927585486787919086248312a - 4968159375859249887167064300 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary